Refaça o problema precedente com os vetores u = (1,3 , - 4) , v = (2,1 , 5) , w = ( 3 , - 2,6 )

Passo 1

Oiii oiii gente

Esse é um exercício pra praticarmos direitinho como fazemos operações com os vetores, desde a multiplicação por escalar e soma/subtração até o cálculo do produto interno, norma e ângulo entre os vetores, beleza? Lembrando que os vetores que vamos trabalhar aqui são u = (1,3 , - 4) , v = (2,1 , 5) , w = ( 3 , - 2,6 )

Então vamos lá explorar item por item :P

Passo 2

a) 3 u - 2 v

Olha lá, nesse caso temos a multiplicação dos vetores por um escalar e depois a subtração entre eles. Isso vai ficar assim:

3 u - 2 v = 3 . (1 , 3 , - 4) - 2 . ( 2,1 , 5 )

Quando multiplicamos um vetor por um escalar, basta multiplicar cada coordenada por esse valor, então:

3 u - 2 v = ( 3,9 , - 12 ) - ( 4,2 , 10 )

E agora, para subtrairmos os vetores, basta subtrair cada coordenada respectiva (primeira com primeira, segunda com segunda, enfim hahaha)

3 u - 2 v = ( 3 - 4,9 - 2 , - 12 - 10 )

3 u - 2 v = ( - 1,7 , - 22 )

E é isso pra esse item hehehe

Passo 3

b) 5 u + 3 v - 4 w

A sacada desse item é bem parecida com a do anterior, mas aí temos um termo a mais hahaha vamos lá

5 u + 3 v - 4 w = 5 . (1,3 , - 4) + 3 . (2,1 , 5) - 4 . ( 3 , - 2,6 )

5 u + 3 v - 4 w = ( 5,15 , - 20 ) + ( 6,3 , 15 ) - ( 12 , - 8,24 )

Então:

5 u + 3 v - 4 w = (5 + 6 - 12,15 + 3 + 8 , - 20 + 15 - 24)

5 u + 3 v - 4 w = (- 1,26 , - 29)

Fechou?

Passo 4

c) u . v , u . w , v . w

Agora queremos trabalhar com produto interno, bora

u . v = (1 , 3 , - 4) . ( 2,1 , 5 )

No produto interno usual, vamos multiplicar cada coordenada respectiva e aí somar tudo, assim ó:

u . v = 1 xx 2 + 3 xx 1 + ( - 4 ) xx 5

u . v = 2 + 3 - 20 = - 15

E é isso 😊

Vamos pros outros produtos internos então

Passo 5

Agora u com w :

u . w = (1 , 3 , - 4) . ( 3 , - 2,6 )

u . w = 1 xx 3 + 3 xx ( - 2 ) + ( - 4 ) xx 6

u . w = 3 - 6 - 24 = - 27

E agora v com w :

v . w = (2,1 , 5) . ( 3 , - 2,6 )

v . w = 2 xx 3 + 1 xx (- 2) + 5 xx 6

v . w = 6 - 2 + 30 = 34

Legal, mais um item feitooo

Passo 6

d) ||u|| , ||v||

Agora vamos encontrar o módulo de u e de v , assim:

||u|| = sqrt(u . u)

||u|| = sqrt(( 1,3 , - 4 ) . (1 , 3 , - 4))

||u|| = sqrt(1 xx 1 + 3 xx 3 + (- 4) xx ( - 4 ))

||u|| = sqrt(1 + 9 + 16) = sqrt(26)

Agora vamos calcular o módulo de v :

||v|| = sqrt(v . v)

||v|| = sqrt((2,1 , 5) . (2,1 , 5))

||v|| = sqrt(2 xx 2 + 1 xx 1 + 5 xx 5)

||v|| = sqrt(4 + 1 + 25) = sqrt(3 0)

Fechou?

Passo 7

e) theta , sendo theta o ângulo entre u e v

Para encontrarmos o ângulo entre u e v , vamos usar a fórmula:

cos theta = (u . v)/(||u|| . ||v||)

Pegando as informações dos itens anteriores e substituindo na fórmula:

cos theta = (- 15)/(sqrt(2 6) xx sqrt(3 0))

cos theta = - (15)/(sqrt(780))

cos theta = - 0 , 537

Então:

theta = cos^(- 1) - 0,537

theta tilde= 122,4 °

Passo 8

f) d (u , v)

Agora queremos a distância entre u e v , vamos lá:

d (u , v) = d ((1 , 3 , - 4) , (2,1 , 5))

d (u , v) = sqrt((1 - 2)^2 + (3 - 1)^2 + (- 4 - 5)^2)

d (u , v) = sqrt((- 1)^2 + (2)^2 + (- 9)^2)

Então:

d (u , v) = sqrt(1 + 4 + 81) = sqrt(86)

Passo 9

g) p r o j ( u , v )

Pra fechar esse exercício com chave de ouro, queremos encontrar a projeção de u em v . Lembrando que isso é dado pela fórmula:

p r o j_v u = (u . v)/(||v||^2) . v

Substituindo os valores:

p r o j_v u = (- 15)/((sqrt(3 0))^2) . ( 2,1 , 5 )

p r o j_v u = (- 15)/(3 0) . ( 2,1 , 5 )

p r o j_v u = (- 1)/(2) . ( 2,1 , 5 )

Multiplicando o escalar por cada coordenada:

p r o j_v u = (- 1 , - (1)/(2) , - (5)/(2))

E fimmmmm galera!

Resposta

a) 3 u - 2 v = ( - 1,7 , - 22 )

b) 5 u + 3 v - 4 w = (- 1,26 , - 29)

c) u . v = - 15 , v . w = 34 , u . w = - 27

d) ||u|| = sqrt(2 6) , ||v|| = sqrt(3 0)

e) theta tilde= 122,4 °

f) d (u , v) = sqrt(86)

g) p r o j_v u = (- 1 , - (1)/(2) , - (5)/(2))