Em relação a uma base B dada, temos u →   =   ( 1,3 , 1 ) , v →   =   ( 0,1 , - 2 ) e w →   =   ( 1,1 , 3 ) . prove que C   =   ( u → , v → , w → ) é uma base de V . Quais são as coordenadas de a →   =   ( 1 , - 1,4 ) C na base B ?

Passo 1

Para começar essa questão, vamos mostrar que o determinante dos vetores da base de C é diferente de zero. Nos informando que esses vetores são l.i. e, por sua vez, teremos C como base. Vamos lá:

Logo, C   =   ( u → , v → , w → ) é uma base de V.

Passo 2

Temos que a →   =   ( 1 , - 1,4 ) C e precisamos escrevê-lo na base B. Então:

( 1 , - 1,4 ) C   = u → - v → + 4 w → = ( 1,3 , 1 ) B - ( 0,1 , - 2 ) B + 4 ⋅ ( 1,1 , 3 ) B  

⇒ ( 1 , - 1,4 ) C   =   ( 1 + 4,3 - 1 + 4 ,   1 + 2 + 12   ) B

⇒ ( 1 , - 1,4 ) C   =   ( 5,6 ,   15   ) B

Resposta

( 5,6 , 15 )