Qual é a relação de equivalência associada a cada uma das seguintes partições?

a) F 1   =   { { a ,   b } ,   { c ,   d } }

b) F 2   =   { { a } ,   { b } ,   { c ,   d } }  

c) F 3   =   { { 0 ,   ± 2 ,   ± 4 ,   . . . } ,   { ± 1 ,   ± 3 ,   ± 5 ,   . . . } }

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso de algelin!

  1. Como temos uma partição de conjuntos finitos, podemos desenhar, olha só
  2. Primeiro vamos desenhar a relação reflexiva, ou seja, vamos fazer aquele laço que vimos a um tempinho atrás:

    Agora vamos fazer a simétrica e transitiva, ligando com setas duplas os elementos do mesmo bloco, pois eles não se relacionam com o de outro bloco.

    Finalmente podemos escrever todas as relações que encontramos:

    R = a ,   a , a ,   b , b ,   b , b ,   a , c ,   c , c ,   d , d ,   d , d ,   c

    Simples, não? Vamos pra b!

    Passo 2

  3. Vamos fazer o mesmo que fizemos para o item anterior.
  4. Agora desenhamos a reflexiva:

    Próximo passo é ligar as setas duplas que pode existir:

    Por últimos, devemos escrever a relação gerada.

    R =   { ( a ,   a ) , ( b ,   b ) , ( c ,   c ) , ( c ,   d ) , ( d ,   d ) , ( d ,   c ) } .

    Bora terminar esse exercício!

    Passo 3

  5. Como temos conjuntos infinitos não podemos continuar nosso incrível talento artístico, porque não dá pra desenhar infinito né. Porem, batendo o olho bem, percebemos que um conjunto representa os inteiros pares e o outro conjunto represente os inteiros impares, logo a união dos dois representa todos os inteiros!

Sabemos também da teoria que toda relação de congruência módulo m sobre os inteiros é uma relação de equivalência, por definição.

Como temos dois conjuntos, nossa relação de equivalência é dada por congruência módulo 2, isto é, escrevendo matematicamente:

R = 0 ,   ± 2 ,   ± 4 ,   … ,   ± 1 ,   ± 3 ,   ± 5 ,   … │ 0 ,   ± 2 ,   ± 4 ,   . . . ≡ m o d   2

Resposta

  1. R = a ,   a , a ,   b , b ,   b , b ,   a , c ,   c , c ,   d , d ,   d , d ,   c
  2. R =   { ( a ,   a ) , ( b ,   b ) , ( c ,   c ) , ( c ,   d ) , ( d ,   d ) , ( d ,   c ) } .
  3. R = 0 ,   ± 2 ,   ± 4 ,   … ,   ± 1 ,   ± 3 ,   ± 5 ,   … │ 0 ,   ± 2 ,   ± 4 ,   . . . ≡ m o d   2 .