Quais das relações abaixo são relações de equivalência sobre E = {a, b, c}?

R 1   =   { ( a ,   a ) , ( b ,   b ) , ( c ,   c ) }

R 2   =   { ( a ,   a ) , ( b ,   b ) , ( c ,   c ) , ( a ,   b ) , ( b ,   c ) , ( a ,   c ) }  

R 3   =   { ( a ,   a ) , ( b ,   b ) , ( a ,   b ) , ( b ,   a ) }  

R 4   =   E × E  

R 5   =   Ø

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos definir o que cada relação é e na resposta marcamos as que são de equivalência!

Passo 2

R 1 possui todas as relações!

R 2 não possui relação simétrica, pois possui conjuntos sem simetria.

R 3 não possui relação reflexiva, pois falta o elemento c.

R 4 é uma relação de equivalência pois possui todos os elementos possíveis do conjunto.

R 5 não é reflexiva, pois não possui conjuntos.

Resposta

Apenas R 1 e R 4 são relações de equivalência.