Represente ln x em série de potência de x - 1 .

Passo 1

Falaaa, como vai?? Primeiro passo para encontrarmos a série de potência é derivarmos a função que o enunciado nos deu, assim vamos descobrir o padrão que a sequência segue.

Após isso, basta aplicarmos esse padrão em uma série e acharmos a forma final. Vamos para o exemplo!!!

Passo 2

A função que o enunciado nos deu é:

f (x) = ln x

Derivando.

f ' (x) = x^(- 1)

f^(' ' (x)) = - x^(- 2)

f ' ' ' (x) = 2 x^(- 3)

Sendo assim, podemos concluir que a nossa função tem o seguinte padrão.

f^((n)) (x) = (- 1)^(n + 1) (n - 1) ! x^(- n)

Pelo enunciado c = 1 . Então:

f^((n)) (1) = (- 1)^(n + 1) (n - 1) !

Colocando em uma série.

0 + 1 (x - 1) - (1)/(2 !) (x - 1)^2 + (2 !)/(3 !) (x - 1)^3 + ...

Logo, podemos concluir a seguinte série:

sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^(n + 1) ((x - 1)^n)/(n)

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (- 1)^(n + 1) ((x - 1)^n)/(n)