Enunciado

Represente f ( x ) por uma série de potencias, usando os resultados desta seção:

f x = x ln ⁡ 1 - x ,   x < 1

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando alguns detalhe sobre a teoria necessária para resolver nosso exercício.

Para encontrar uma série de potência aplicar o teorema 11.41 do livro texto, lá temos que:

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … + x n n ! + …

Nosso problema é:

f x = x ln ⁡ 1 - x ,   x < 1

Passo 2

Aplicando o teorema 11.40 temos que:

f x = x ln ⁡ 1 - x

x [ - x - - x 2 2 + - x 3 3 - - x 4 4 … … . .   ]

x ∑ n = 0 ∞ - 1 n - x n + 1 n + 1  

∑ n = 0 ∞ - 1 n + 2 n + 1   x 2 n + 2  

- ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1   x n + 2  

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

- ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1   x n + 2