Represente f ( x ) por uma série de potencias, usando os resultados desta seção.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Neste exercício vamos usar uma representação que o livro nos dá no Exemplo 5 da seção 11.7 e depois vamos interpretar a função para encontrarmos a série de potência. Vamos para o exemplo!!!

Passo 2

A função que o enunciado nos deu é:

f x = arctan ⁡ x

E nesta seção do livro do autor demonstrou a relação abaixo.

arctan ⁡ x = x - x 3 3 + x 5 5 - … + - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 + …

Sendo assim, para nosso exemplo podemos considerar o seguinte:

arctan ⁡ x = x 1 / 2 - ( x 1 / 2 ) 3 3 + ( x 1 / 2 )   5 5 - x 1 / 2 7 7 + …

Colocando em série de potência encontramos.

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 1 / 2 2 n + 1 2 n + 1

∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 n + 1 x ( 2 n + 1 ) / 2

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 n + 1 x ( 2 n + 1 ) / 2