Resolva cada um dos sistemas a seguir.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

‎a) Considere o sistema‎

x_1 - 2 x_2 = 5

3 x_1 + x_2 = 1

Desde x_1 - 2 x_2 = 5 e 3 x_1 + x_2 = 1 temos que (x_1 - 2 x_2) + 2 (3 x_1 + x_2) = 5 + 2 * 1

O que nos dá que 7 x_1 = 7 e, em seguida, x_1 = 1

Desde 3 x_1 + x_2 = 1 temos que 3 * 1 + x_2 = 1 e então x_2 = - 2

‎Daí a solução do sistema é ‎‎(1,−2).

Passo 2

b) Considere o sistema‎

2 x_1 + x_2 = 8

4 x_1 - 3 x_2 = 6

Desde 2 x_1 + x_2 = 8 e 4 x_1 - 3 x_2 = 6 temos que 3 (2 x_1 + x_2) + (4 x_1 - 3 x_2) = 3 * 8 + 6

O que nos dá que 10 x_1 = 30 e, em seguida, x_1 = 3

Desde 2 x_1 + x_2 = 8 temos que 2 * 3 + x_2 = 8 e então x_2 = 2

‎Daí a solução do sistema é ‎‎(3,2).

c) Considere o sistema‎

2 x_1 + x_2 = 8

4 x_1 - 3 x_2 = 6

Desde 4 x_1 + 3 x_2 = 4 e (2)/(3) x_1 + 4 x_2 = 3 temos que 4 (4 x_1 + 3 x_2) - 3 ((2)/(3) x_1 + 4 x_2) = 4 * 4 - 3 * 3

O que nos dá que 14 x_1 = 7 e, em seguida, x_1 = (1)/(2)

Desde 4 x_1 + 3 x_2 = 4 temos que 4 * (1)/(2) + 3 x_2 = 4 e então x_2 = (2)/(3)

‎Daí a solução do sistema é ‎‎( (1)/(2) , (2)/(3) ).

Passo 3

d) Considere o sistema‎

x_1 + 2 x_2 - x_3 = 1

2 x_1 - x_2 + x_3 = 3

- x_1 + 2 x_2 + 3 x_3 = 7

‎Se multiplicarmos a primeira equação por 2 e subtraí-la a partir da segunda, e adicioná-la à terceira (sem multiplicá-la), teremos:‎

- 5 x_2 + 3 x_3 = 1

4 x_2 + 2 x_3 = 8

‎Se multiplicarmos a primeira equação por 4, segundo por 5, e adicioná-los, nós temos‎

22 x_3 = 44 - > x_3 = 2

Substituindo x_3 = 2 na equação 4 x_2 + 2 x_3 = 8 , nós temos

4 x_2 + 4 = 8 - > x_2 = 1

Se nós substituímos x_3 = 2 e x_2 = 1 na primeira equação do sistema e temos como resultado

x_1 + 2 - 2 = 1 - > x_1 = 1

e) Considerando o sistema

2 x_1 + x_2 + 3 x_3 = 1

4 x_1 + 3 x_2 + 5 x_3 = 1

6 x_1 + 5 x_2 + 5 x_3 = - 3

‎Se multiplicarmos a primeira equação por 2 e subtraí-la da segunda, e também multiplicá-la por 3 e subtraí-la a partir da terceira, teremos:‎

x_2 - x_3 = - 1

2 x_3 - 4 x_3 = - 6

‎Se multiplicarmos a primeira equação por 2 e subtraí-la a partir do segundo, nós temos‎

- 2 x_3 = - 4 - > x_3 = 2

Substituindo x_3 = 2 na equação 2 x_2 - 4 x_3 = - 6

2 x_2 - 8 = - 6 - > x_2 = 1

Se nós substituímos ambos em x_3 = 2 e x_2 = 1 na primeira equação do sistema, teremos

2 x_1 + 1 + 6 = 1 - > x_1 = - 3

Passo 4

f) Considerando o sistema

3 x_1 + 2 x_2 + x_3 = 0

- 2 x_1 + x_2 - x_3 = 2

2 x_1 - x_2 + 2 x_3 = - 1

‎Se adicionarmos a primeira equação à segunda, e também multiplicá-la por 2 e subtraí-la a partir da terceira, teremos:‎

x_1 + 3 x_2 = 2

- 4 x_1 - 5 x_2 = - 1

‎Se multiplicarmos a primeira equação por 4 e adicioná-la ao segundo, ficamos‎

7 x_2 = 7 - > x_2 = 1

Substituindo x_2 = 1 na equação x_1 + 3 x_2 = 2

x_1 + 3 = 2 - > x_1 = - 1

‎Se agora substituirmos ambos ‎ x_2 = 1 ‎ e ‎ x_1 = - 1 ‎ na primeira equação do sistema, temos‎

- 3 + 2 + x_3 = 0 - > x_3 = 1

g)

(1)/(3) x_1 + (2)/(3) x_2 + 2 x_3 = - 1

x_1 + 2 x_2 + (3)/(2) x_3 = (3)/(2)

(1)/(2) x_1 + 2 x_2 + (12)/(5) x_3 = (1)/(10)

‎Se subtrairmos a terceira equação da segunda, e também multiplicá-la por 1/3 e subtraí-la da primeira, teremos:‎

(1)/(2) x_1 - (9)/(10) x_3 = (14)/(10)

(1)/(6) x_1 + (6)/(5) x_3 = - (31)/(30)

‎Se multiplicarmos a segunda equação por 3 e subtraí-la a partir da primeira, temos‎

- (45)/(10) x_3 = (45)/(10) - > x_3 = - 1

Por substituição x_3 = - 1 na equação (1)/(2) x_1 - (9)/(10) x_3 = (14)/(10) , nós temos

(1)/(2) x_1 + (9)/(10) = (14)/(10) = x_1 = 1

Se substituímos x_3 = - 1 e x_1 = 1 na segunda equação

1 + 2 x_2 - (3)/(2) = (3)/(2) - > x_2 = 1

g) Dado o sistema

x_2 + x_3 + x_4 = 0

3 x_1 + 3 x_3 - 4 x_4 = 7

x_1 + x_2 + x_3 + 2 x_4 = 6

2 x_1 + 3 x_2 + x_3 + 3 x_4 = 6

‎Vamos reescrever a primeira equação, multiplicar a terceira equação por 2 e subtraí-la a partir da quarta, e também multiplicá-la por 3 e subtraí-la a partir da segunda. Isso nos dá o seguinte sistema:‎

x_2 + x_3 + x_4 = 0

x_2 - x_3 - x_4 = - 6

- 3 x_2 - 10 x_4 = - 11

‎Se somarmos as duas primeiras equações deste novo sistema, nós temos‎

2 x_2 = - 6 - > x_2 = - 3

Substituindo x_2 = - 3 na equação - 3 x_2 - 10 x_4 = - 11 , nós temos

9 - 10 x_4 = - 11 - > x_4 = 2

Se substituindo x_2 = - 3 e x_4 = 2 na equação x_2 + x_3 + x_4 = 0 , nós temos

x_3 - 1 = 0 - > x_3 = 1

E por último substituindo x_3 = 1 , x_2 = - 3 e x_4 = 2 ‎na terceira equação do sistema original, temos‎

x_1 + 2 = 6 - > x_1 = 4

Resposta

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