Resolva a desigualdade e exprima a solução em termos de intervalos, quando possível.

x 2 x + 3 ≥ 5

Passo 1

Olááá, tudo bem??

Nessa questão vamos trabalhar com inequação e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão de suas propriedades.

Diferentemente de uma equação, a inequação do 1º grau expressa uma desigualdade na variável x que pode ser reduzida em uma das formas

a x + b > 0 a x + b ≥ 0 a x + b < 0 a x + b ≤ 0

Em que a , b   ϵ   R e a ≠ 0 . Esses sinais servem para comparar. Para resolver uma inequação do 1º grau, deve-se determinar um conjunto com todos os valores para a variável x de forma que a sentença se torne verdadeira.

Passo 2

Para resolvemos a inequação, vamos isolar a variável x na sentença. Observe que nos deparamos com uma inequação de segundo grau se fazendo necessário que encontremos suas raízes pela fórmula de Bhaskara.

x 2 x + 3 ≥ 5

2 x 2 + 3 x ≥ 5

2 x 2 + 3 x - 5 ≥ 0       →         a = 2 b = 3 c = - 5

Assim,

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - 3 ± 3 2 - 4 × 2 × ( - 5 ) 2 × 2

x = - 3 ± 9 + 40 4

x = - 3 ± 49 4

x = - 3 ± 7 4

Passo 3

O próximo passo é separar as duas equações com sinais opostos para encontrar as duas raízes da equação.

x = - 3 + 7 4 = 4 4 = 1

x = - 3 - 7 4 = - 10 4 = - 5 2

Passo 4

Voltando a equação inicial, temos que

2 x 2 + 3 x - 5 ≥ 0      

2 x + 5 x - 1 ≥ 0     →         x ≤ - 2 5 x ≥ 1  

Logo, qualquer valor que esteja no intervalo - ∞ , - 5 2 ∪ [ 1 , ∞ ) satisfaz o problema.

Até a próxima! =]

Resposta

S = x   ϵ   R ; - ∞ , - 5 2 ∪ 1 , ∞