Enunciado

Resolva por fatoramento.

15 x^2 - 14 = 29 x

Passo 1

Um polinômio é aquele que contém uma variável x elevada a uma potência, ou grau, e outros termos e/ou constantes. Um polinômio de segundo grau apresenta a variável x com o maior grau igual a “ 2 ”, podendo ser escrita na forma padrão como

a x^2 + b x + c = 0

Fatorar um polinômio significa dividir a expressão em expressões menores que se multiplicam. Estas expressões menores apresentam a solução, ou raíz(es), do polinômio.

Passo 2

Para encontrar a(s) raíz(es) do polinômio, vamos primeiramente reordenar os termos da expressão

15 x^2 - 14 = 29 x

15 x^2 - 29 x - 14 = 0

Passo 3

O próximo passo é escolher o melhor método para realizar o fatoramento. O método adotado para resolução desse exercício é o método da decomposição que identifica todos os possíveis fatores dos termos a e c e os utiliza para descobrir quais devem ser os fatores adequados.

Primeira etapa é multiplicar os termos a e c .

15 xx (- 14) = - 210

Passo 4

Segunda etapa é fatorar o valor “ - 210 ” para encontrar dois valores que somados sejam iguais ao termo b . Os fatores de 210 são

{2,3 , 5,7}

Como o valor é negativo, os fatores devem ter sinais opostos. Assim, vamos montar a nossa tabela de possibilidades e comparar a soma deles com o termo b .

- 210 {[[[[[[2 xx 105 {[[2 - 105 != - 29],[- 2 + 105 != - 29]])],[3 xx 70 {[[3 - 70 != - 29],[- 3 + 70 != - 29]])],[5 xx 42 {[[5 - 42 != - 29],[- 5 + 42 != - 29]])]]],[6 xx 35 {[[6 - 35 = - 29],[- 6 + 35 != - 29]])],[7 xx 30 {[[7 - 30 != - 29],[- 7 + 30 != - 29]])],[10 xx 21 {[[10 - 21 != - 29],[- 10 + 21 != - 29]])]]],[14 xx 15 {[[14 - 15 != - 29],[- 14 + 15 != - 29]])]])

Passo 5

Agora que encontramos os fatores, vamos inseri-los na equação original

15 x^2 - 29 x - 14 = 0

15 x^2 + 6 x - 35 x - 14 = 0

Passo 6

Agora, vamos organizar a equação de modo que possamos fatorar o maior fator comum dos dois primeiros e dos dois últimos termos. Ambos os grupos fatorados devem ser iguais. O máximo fator comum dos dois pares é

3 x (5 x + 2) - 7 (5 x + 2) = 0

Fazendo novamente o fatoramento, temos que

(5 x + 2) (3 x - 7) = 0

Passo 7

Separando as equações para encontrarmos a solução temos

a ) 5 x + 2 = 0 -> x = - (2)/(5)

b ) 3 x - 7 = 0 -> x = (7)/(3)

Resposta

x = - (2)/(5) ; x = (7)/(3)