Resolva por fatoramento.

2 x (4 x + 15) = 27

Passo 1

Um polinômio é aquele que contém uma variável x elevada a uma potência, ou grau, e outros termos e/ou constantes. Um polinômio de segundo grau apresenta a variável x com o maior grau igual a “ 2 ”, podendo ser escrita na forma padrão como

a x^2 + b x + c = 0

Fatorar um polinômio significa dividir a expressão em expressões menores que se multiplicam. Estas expressões menores apresentam a solução, ou raíz(es), do polinômio.

Passo 2

Para encontrar a(s) raíz(es) do polinômio, vamos primeiramente aplicar a propriedade distributiva e depois reordenar os termos da expressão

2 x (4 x + 15) = 27

8 x^2 + 30 x = 27

8 x^2 + 30 x - 27 = 0

Passo 3

O próximo passo é escolher o melhor método para realizar o fatoramento. O método adotado para resolução desse exercício é o método da decomposição que identifica todos os possíveis fatores dos termos a e c e os utiliza para descobrir quais devem ser os fatores adequados.

Primeira etapa é multiplicar os termos a e c .

8 xx (- 27) = - 216

Passo 4

Segunda etapa é fatorar o valor “ - 216 ” para encontrar dois valores que somados sejam iguais ao termo b . Os fatores de 216 são

{2,2 , 2,3 , 3,3}

Como o valor é negativo, os fatores devem ter sinais opostos. Assim, vamos montar a nossa tabela de possibilidades e comparar a soma deles com o termo b .

- 216 {[[[[[[2 xx 108 {[[2 - 108 != 30],[- 2 + 108 != 30]])],[3 xx 72 {[[3 - 72 != 30],[- 3 + 72 != 30]])],[4 xx 54 {[[4 - 54 != 30],[- 4 + 54 != 30]])]]],[6 xx 36 {[[6 - 36 != 30],[- 6 + 36 = 30]])],[8 xx 27 {[[8 - 27 != 30],[- 8 + 27 != 30]])],[9 xx 24 {[[9 - 24 != 30],[- 9 + 24 != 30]])]]],[12 xx 18 {[[12 - 18 != 30],[- 12 + 18 != 30]])]])

Passo 5

Agora que encontramos os fatores, vamos inseri-los na equação original

8 x^2 + 30 x - 27 = 0

8 x^2 + 36 x - 6 x - 27 = 0

Passo 6

Agora, vamos organizar a equação de modo que possamos fatorar o maior fator comum dos dois primeiros e dos dois últimos termos. Ambos os grupos fatorados devem ser iguais. O máximo fator comum dos dois pares é

4 x (2 x + 9) - 3 (2 x + 9) = 0

Fazendo novamente o fatoramento, temos que

(2 x + 9) (4 x - 3) = 0

Passo 7

Separando as equações para encontrarmos a solução temos

a ) 2 x + 9 = 0 -> x = - (9)/(2)

b ) 4 x - 3 = 0 -> x = (3)/(4)

Resposta

x = - (9)/(2) ; x = (3)/(4)