Resolva por fatoramento.

15 x^2 - 12 = 8 x

Passo 1

Um polinômio é aquele que contém uma variável x elevada a uma potência, ou grau, e outros termos e/ou constantes. Um polinômio de segundo grau apresenta a variável x com o maior grau igual a “ 2 ”, podendo ser escrita na forma padrão como

a x^2 + b x + c = 0

Fatorar um polinômio significa dividir a expressão em expressões menores que se multiplicam. Estas expressões menores apresentam a solução, ou raíz(es), do polinômio.

Passo 2

Para encontrar a(s) raíz(es) do polinômio, vamos primeiramente reordenar os termos da expressão

15 x^2 - 12 = 8 x

15 x^2 - 8 x - 12 = 0

Passo 3

O próximo passo é escolher o melhor método para realizar o fatoramento. O método adotado para resolução desse exercício é o método da decomposição que identifica todos os possíveis fatores dos termos a e c e os utiliza para descobrir quais devem ser os fatores adequados.

Primeira etapa é multiplicar os termos a e c .

15 xx (- 12) = - 180

Passo 4

Segunda etapa é fatorar o valor “ - 180 ” para encontrar dois valores que somados sejam iguais ao termo b . Os fatores de 180 são

{2,2 , 3,3 , 5}

Como o valor é negativo, os fatores devem ter sinais opostos. Assim, vamos montar a nossa tabela de possibilidades e comparar a soma deles com o termo b .

- 180 {[[[[2 xx 90 {[[2 - 90 != - 8],[- 2 + 90 != - 8]])],[3 xx 60 {[[3 - 60 != - 8],[- 3 + 60 != - 8]])],[4 xx 45 {[[4 - 45 != - 8],[- 4 + 45 != - 8]])]]],[5 xx 36 {[[5 - 36 != - 8],[- 5 + 36 != - 8]])],[10 xx 18 {[[10 - 18 = - 8],[- 10 + 18 != - 8]])],[12 xx 15 {[[12 - 15 != - 8],[- 12 + 15 != - 8]])]])

Passo 5

Agora que encontramos os fatores, vamos inseri-los na equação original

15 x^2 - 8 x - 12 = 0

15 x^2 + 10 x - 18 x - 12 = 0

Passo 6

Agora, vamos organizar a equação de modo que possamos fatorar o maior fator comum dos dois primeiros e dos dois últimos termos. Ambos os grupos fatorados devem ser iguais. O máximo fator comum dos dois pares é

5 x (3 x + 2) - 6 (3 x + 2) = 0

Fazendo novamente o fatoramento, temos que

(3 x + 2) (5 x - 6) = 0

Passo 7

Separando as equações para encontrarmos a solução temos

a ) 3 x + 2 = 0 -> x = - (2)/(3)

b ) 5 x - 6 = 0 -> x = (6)/(5)

Resposta

x = - (2)/(3) ; x = (6)/(5)