Resolva, mediante o teorema chinês do resto, os seguintes sistemas:

a) x ≡ 1 (mod 10), x ≡ 4 (mod 11), x ≡ 6 (mod 13)

b) x ≡ 5 (mod 7), x ≡ −1 (mod 9), x ≡ 6 (mod 10)

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos aplicar o teorema Chinês do resto, nosso querido TCR, isto é, temos que descobrir x 0 - = a 1 ⋅ N 1 ⋅ ñ 1   + a 2 ⋅ N 2 ⋅ ñ 2 + a 3 ⋅ N 3 ⋅ ñ 3 .

  1.   x ≡ 1   ( m o d   10 ) ,   x ≡ 4 ( m o d   11 )   e   x ≡ 6   ( m o d   13 ) . Vamos separar nas incógnitas de acordo com o TCR.
  2. a 1 = 1 , a 2 = 4 ,   a 3 = 6 ;

    n 1 = 10 , n 2 = 11 ,   n 3 = 13 ;

    n = 10 ⋅ 11 ⋅ 13 = 1430 ;

    N 1 = 11 ⋅ 13 = 143 ,   N 2 = 10 ⋅ 13 = 130 ,   N 3 = 10 ⋅ 11 = 110 .

    As congruências N 1 x 1 ≡ 1   m o d   10 ,   N 2 x 2 ≡ 1   m o d   11 ,   N 3 x 3 ≡ ( m o d   13 ) , são:

    143 x 1 ≡ 1   ( m o d   10 ) , 143 ÷ 10 → 14 10 + 3 então podemos reescrever como 3 x 1 ≡ 1   ( m o d   10 ) ,

    3 ⋅ k ' + 10 ⋅ k 0 ' = 1 → u m a   s o l u ç ã o   é   k ' , k 0 ' = ( - 3 ,   1 )

    A solução é x 1 ≡ - 3   ( m o d   10 ) ;

    130 x 2 ≡ 1   m o d   11 , 130 ÷ 11 → 11 11 + 9 então podemos reescrever como 9 x 2 ≡ 1   ( m o d   11 ) ,

    9 ⋅ k ' ' + 11 ⋅ k 0 ' ' = 1 → u m a   s o l u ç ã o   é   k ' ' , k 0 ' ' = ( 5 ,   - 4 )

    A solução é x 2 ≡ 5   ( m o d   11 ) ;

    110 x 3 ≡ 1   ( m o d   13 ) , 110 ÷ 13 → 8 13 + 6 então podemos reescrever como 6 x 3 ≡ 1   ( m o d   11 ) ,

    6 ⋅ k + 13 ⋅ k 0 = 1 → u m a   s o l u ç ã o   é   k , k 0 = ( - 2 ,   1 )

    A solução é x 3 ≡ - 2   ( m o d   13 ) .

    Agora sim podemos solucionar o problema pois temos todas as variáveis da expressão!

    x 0 - = 1 ⋅ 143 ⋅ - 3 + 4 ⋅ 130 ⋅ 5 + 6 ⋅ 110 ⋅ - 2 = 851

    A solução geral do problema então é

    x = x 0 - + n t   c o m   t ∈ Z

    x = 851 + 1430 t  

    Passo 2

  3. x ≡ 5   m o d   7 ,   x ≡ - 1 ( m o d   9 )   e   x ≡ 6   ( m o d   10 ) . Vamos separar nas incógnitas de acordo com o TCR.

a 1 = 5 , a 2 = - 1 ,   a 3 = 6 ;

n 1 = 7 , n 2 = 9 ,   n 3 = 10 ;

n = 7 ⋅ 9 ⋅ 10 = 630 ;

N 1 = 9 ⋅ 10 = 90 ,   N 2 = 7 ⋅ 10 = 70 ,   N 3 = 7 ⋅ 9 = 63 .

As congruências N 1 x 1 ≡ 1   m o d   7 ,   N 2 x 2 ≡ 1   m o d   9 ,   N 3 x 3 ≡ ( m o d   10 ) , são:

90 x 1 ≡ 1   ( m o d   7 ) , 90 ÷ 9 → 12 7 + 6 então podemos reescrever como 6 x 1 ≡ 1   ( m o d   7 ) , 6 ⋅ k ' ' + 7 ⋅ k 0 ' ' = 1 → u m a   s o l u ç ã o   é   k ' ' , k 0 ' ' = ( - 1 ,   1 )

A solução é x 1 ≡ - 1   ( m o d   7 ) ;

70 x 2 ≡ 1   m o d   9 , 70 ÷ 9 → 7 9 + 7 então podemos reescrever como 7 x 2 ≡ 1   ( m o d   9 ) ,

7 ⋅ k ' + 9 ⋅ k 0 ' = 1 → u m a   s o l u ç ã o   é   k ' , k 0 ' = ( 4 ,   - 3 )

A solução é x 2 ≡ 4   ( m o d   9 ) ;

63 x 3 ≡ 1   ( m o d   10 ) , 63 ÷ 10 → 6 10 + 3 então podemos reescrever como 3 x 3 ≡ 1   ( m o d   10 ) ,

3 ⋅ k + 10 ⋅ k 0 = 1 → u m a   s o l u ç ã o   é   k , k 0 = ( - 3 ,   1 )

A solução é x 3 ≡ - 3   ( m o d   10 ) .

Agora sim podemos solucionar o problema pois temos todas as variáveis da expressão!

x 0 - = 5 ⋅ 90 ⋅ - 1 + - 1 ⋅ 70 ⋅ 4 + 6 ⋅ 63 ⋅ - 3 = - 1864

A solução geral do problema então é

x = x 0 - + n t   c o m   t ∈ Z

x = - 1864 + 630 t

Podemos reescrever para deixar positivo da seguinte forma, como x = 26 + 630 t , pois 630 ⋅ 3 - 1864 = 26 .

Resposta

  1. x = 851 + 1430 t  
  2. x = 26 + 630 t