Resolva as seguintes equações diofantinas lineares:

5 x - 2 y = 2

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, vamos utilizar o teorema de bezout!

De acordo com o enunciado, todas as equações tem resolução, por isso podemos usar o teorema de bezout para resolve-las. Mas como confirmamos que elas têm solução? Batas conferir se o mdc dos números que multiplicam x e y é divisível pelo número do lado direito da igualdade.

m d c 5 , 2 = 1   e   1 | 20 ⇒ a   e q u a ç ã o   t e m   s o l u ç ã o .

Partindo do teorema de bezout temos que:

5 α - 2 β = 1

Uma solução dessa equação é α = 1   e   β = 2 ,

5 1 - 2 2 = 1

Multiplicando a equação por 2:

5 2 - 2 4 = 2

Ao se comparar essa última equação com a equação enunciado, descobrimos que x = 2 e y = 4 . Então, uma solução particular da equação é x , y = ( 2 ,   4 ) e a solução geral é:

2 - 2 m d c 5 , 2 ⋅ k ,   4 - 5 m d c 5 , 2 ⋅ k = 2 + 2 k , 4 + 5 k   c o m   k ∈ Z

Resposta

2 + 2 k , 4 + 5 k