Resolva as seguintes equações diofantinas lineares:

18 x - 20 y = - 8

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, vamos utilizar o teorema de bezout!

De acordo com o enunciado, todas as equações tem resolução, por isso podemos usar o teorema de bezout para resolve-las. Mas como confirmamos que elas têm solução? Batas conferir se o mdc dos números que multiplicam x e y é divisível pelo número do lado direito da igualdade.

m d c 18,20 = 2   e   2 | 8 ⇒ a   e q u a ç ã o   t e m   s o l u ç ã o .

Partindo do teorema de bezout temos que:

18 α - 20 β = 2

Uma solução dessa equação é α = - 1   e   β = - 1 ,

18 - 1 - 20 - 1 = 2

Multiplicando a equação por -4:

18 4 - 20 4 = - 8

Ao se comparar essa última equação com a equação enunciado, descobrimos que x = 4 e y = 4 . Então, uma solução particular da equação é x , y = ( 4 ,   4 ) e a solução geral é:

4 + 20 m d c 18,20 ⋅ k ,   4 + 18 m d c 18,20 ⋅ k = 4 + 10 k , 4 + 9 k   c o m   k ∈ Z

Resposta

4 + 10 k , 4 + 9 k