Resolva as seguintes equações diofantinas lineares:

3 x + 4 y = 20

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, vamos utilizar o teorema de bezout!

De acordo com o enunciado, todas as equações tem resolução, por isso podemos usar o teorema de bezout para resolve-las. Mas como confirmamos que elas têm solução? Batas conferir se o mdc dos números que multiplicam x e y é divisível pelo número do lado direito da igualdade.

m d c 3,4 = 1   e   1 | 20 ⇒ a   e q u a ç ã o   t e m   s o l u ç ã o .

Partindo do teorema de bezout temos que:

3 α + 4 β = 1

Uma solução dessa equação é α = - 1   e   β = 1 ,

3 - 1 + 4 1 = 1

Multiplicando a equação por 20:

3 - 20 + 4 20 = 20

Ao se comparar essa última equação com a equação enunciado, descobrimos que x = - 20 e y = 20 . Então, uma solução particular da equação é x , y = ( - 20,20 ) e a solução geral é:

- 20 + 4 m d c 3,4 ⋅ k ,   20 - 3 m d c 3,4 ⋅ k = - 20 + 4 k , 20 - 3 k   c o m   k ∈ Z

Resposta

- 20 + 4 k , 20 - 3 k