Resolva as seguintes equações diofantinas lineares:

24 x + 138 y = 1 8

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, vamos utilizar o teorema de bezout!

De acordo com o enunciado, todas as equações tem resolução, por isso podemos usar o teorema de bezout para resolve-las. Mas como confirmamos que elas têm solução? Batas conferir se o mdc dos números que multiplicam x e y é divisível pelo número do lado direito da igualdade.

m d c 24 , 138 = 6   e   6 | 1 8 ⇒ a   e q u a ç ã o   t e m   s o l u ç ã o .

Partindo do teorema de bezout temos que:

24 α + 138 β = 6

Uma solução dessa equação é α = 6   e   β = - 1 ,

24 6 + 138 - 1 = 6

Multiplicando a equação por 3:

24 18 + 138 - 3 = 18

Ao se comparar essa última equação com a equação enunciado, descobrimos que x = 18 e y = - 3 . Então, uma solução particular da equação é x , y = ( 18 ,   - 3 ) e a solução geral é:

18 + 138 m d c 24 , 138 ⋅ k ,   - 3 - 24 m d c 24 , 138 ⋅ k = 18 + 23 k , - 3 - 4 k   c o m   k ∈ Z

Resposta

18 + 23 k , - 3 - 4 k