Enunciado

Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:

a) x 1 +   x 2 +   2 x 3 = 8 - x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 1 3 x 1 - 7 x 2 + 4 x 3 = 10  

Passo 1

Fala galera, tranquilo?

a)A primeira coisa que temos que fazer é reescrever o sistema na forma de uma matriz aumentada.

1 1 2 - 1 - 2 3 3 - 7 4 8 1 10

Para resolver o problema utilizando o método de Gauss-Jordan, temos que escolher um elemento “pivô” e em seguida zerar todos os demais elementos da coluna onde ele está presente.

Como primeiro pivô vamos escolher o elemento a 11 . Escolhido o pivô, vamos aplicar operações elementares nas linhas dessa matriz.

1ºlinha + 2ºlinha → 2 ºlinha

-3 x 1ºlinha + 3ºlinha → 3 ºlinha

1 1 2 0 - 1 5 0 - 10 - 2 8 9 - 14

Passo 2

Já o segundo pivô vamos escolher o elemento a 22 , que é o número -1. Como temos que “fazer” o pivô igual à um, vamos multiplicar a segunda linha por -1.

-1 x 2ºlinha → 2ºlinha

1 1 2 0 1 - 5 0 - 10 - 2 8 - 9 - 14

Show! Agora, precisamos zerar os outros elementos da segunda coluna, podemos fazer isso fazendo as operações:

3ºlinha – (-10) x 2ºlinha → 3 ºlinha

1ºlinha - 2ºlinha → 1 ºlinha

1 0 7 0 1 - 5 0 0 - 52 17 - 9 - 104

Passo 3

Para o terceiro pivô, vamos usar o termo a 33 Sendo que o pivô deve ser igual a 1, e para fazer isso vamos multiplicar a terceira linha por - 1 52 .

3ºlinha x - 1 52 3 ºlinha

1 0 7 0 1 - 5 0 0 1 17 - 9 2

Para zerar os demais termos da coluna 3, podemos fazer as operações:

5 x 3ºlinha + 2ºlinha → 2 ºlinha

-7 x 3ºlinha + 1ºlinha → 1 ºlinha

1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 2

Pessoal, essa matriz expandida é equivalente ao sistema:

x 1 +   0   +   0   = 3 0 + x 2 + 0 = 1 0 + 0 + x 3 = 2  

Agora é só partir pro abraço! Ao observar o sistema conseguimos concluir que:

Pela equação I     →   x 1 = 3

Pela equação II →   x 2 = 1

Pela equação III →   x 3 = 2

Portanto, a solução geral é dada por:

X = x 1 x 2 x 3 = 3 1 2

Resposta

A solução do sistema é: X = 3 1 2