Enunciado

Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:

b) 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 0 - 2 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 = 1 8 x 1 + x 2 + 4 x 3 = - 1

Passo 1

Oi, oi galerinha! Tudo blz?

Assim como fizemos no exercício anterior, vamos primeiro reescrever o sistema na forma de uma matriz aumentada.

2 2 2 - 2 5 2 8 1 4 0 1 - 1

Como primeiro pivô escolhemos o elemento a 11 , de cara já vemos que é um número diferente de 1, sendo assim vamos multiplicar toda primeira linha por 1/2.

1 2   x 1ºlinha → 1ºlinha

1 1 1 - 2 5 2 8 1 4       0       1 - 1

Agora vamos zerar os demais elementos presentes na coluna onde está o primeiro pivô.

Podemos fazer isso através das operações:

2 x 1ºlinha + 2ºlinha → 2 ºlinha

3ºlinha – 8 x 1ºlinha → 3 ºlinha

1 1 1 0 7 4 0 - 7 - 4 0 1 - 1

Passo 2

O próximo pivô será o elemento a 22 . Como este elemento é o número 7, vamos multiplicar toda segunda linha por 1 7 .

1 7 x 2ºlinha → 2 ºlinha

1 1 1 0 1 4 7 0 - 7 - 4       0       1 7 - 1

Para zerar os demais elementos da coluna onde se encontra o segundo pivô, podemos fazer as operações:

7 x 2ºlinha + 3ºlinha → 3 ºlinha

1ºlinha - 2ºlinha → 1 ºlinha

1 0 3 7 0 1 4 7 0 0 0 - 1 7 1 7 0

Passo 3

Ops, algo inesperado aconteceu!

Como podemos ver, a terceira linha da matriz teve seus elementos zerados. Isto aconteceu devido ao fato da terceira linha da matriz aumentada inicial, ser um múltiplo da primeira linha. Ou seja, a terceira linha da matriz inicial é linearmente dependente!

Você pode tentar fazer as eliminações dos termos fazendo diferentes operações, mas chegará a este mesmo resultado. Ainda assim podemos reescrever a matriz acima na forma de sistema, obtendo:

x 1 + 0 + 3 7 x 3 =   - 1 7 0 + x 2 + 4 7 x 3 = 1 7  

Isolando os valores de x 1 e de x 2 :

x 1 =   - 1 7 - 3 7 x 3

x 2 = 1 7 - 4 7 x 3

Está é a solução do sistema.

Você provavelmente pode ter achado o resultado um pouco entranho, devido aos fatos de x 1 e x 2 estarem em função da variável x 3 , mas este é o resultado padrão, sempre que uma das linhas da matriz aumentada for linearmente dependente (LD).

Ok! Para simplificar as coisas podemos substituir a variável x 3 por um valor qualquer, por exemplo: x 3 =   α .

Logo, a solução geral é dada por:

X = x 1 x 2 x 3 = - 1 7 - 3 7 α 1 7 - 4 7 α α

É isso galera, vamos pra letra C?

Resposta

X = - 1 7 - 3 7 α 1 7 - 4 7 α α ,   ∀ α ∈ R