Qual é o resto da divisão euclidiana de 1 5 + 2 5 + 3 5 + … + 99 5 + 100 5 por 4? Justifique. Sugestão: Dividir a soma dada em 25 grupos de 4 parcelas.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Sabemos que a divisão por 4 sempre segue 0, 1, 2 e 3. Dessa forma podemos reescrever a sequencia da seguinte forma utilizando o módulo 4:

1 5 + 2 5 + 3 5 + … + 3 5 + 0 5

Também conhecemos uma das regras mais velhas de todas, a ordem dos fatores não altera o resultado da soma em R , então podemos deslocar o último 0 para a sequência ficar bonitinha:

( 0 5 + 1 5 + 2 5 + 3 5 ) + … + ( 0 5 + 1 5 + 2 5 + 3 5 )

Existem 25 grupos dessa sequência de 4 números, ou seja:

0 5 + 1 5 + 2 5 + 3 5 + … + 0 5 + 1 5 + 2 5 + 3 5 = 25 ⋅ ( 0 5 + 1 5 + 2 5 + 3 5 )

= 25 ⋅ 1 + 32 + 243 = 25 ⋅ 276

Passo 2

Descobrimos que temos 25 números 276 na sequência, então quantos restos de 276 no módulo 4 temos?

276 ≡ 0   m o d   4 ⇒ 25 ⋅ 0 = 0

Existem 25 restos 0 na sequência e assim podemos escrever a resposta final:

1 5 + 2 5 + 3 5 + … + 99 5 + 100 5 ≡ 0   ( m o d   4 )

Resposta

Resto 0.