A reta r é determinada por P   = ( 1,2 , - 1 ) e Q = ( 2,1 , - 2 ) . A reta s é dada por x - 1 = y - 2 = z + 1 .

  1. Ache Q ' , projeção ortogonal de Q sobre s .
  2. Calcule a área do triângulo P Q Q ' .
  3. Ache r ' , simétrica de r em relação a s .

Passo 1

  1. Galera, para a gente encontrar a projeção ortogonal de Q sobre s precisamos de um vetor Q Q ' → que sai de Q até um ponto Q ' na reta s e que é perpendicular a essa reta. Para encontrarmos a representação de S , precisamos das equações paramétricas de s :
  2. x - 1 = y - 2 = z + 1 = m

    ⇒ x = 1 + m ;   y = 2 + m ;   z = m - 1

    Então, o ponto Q ' = ( 1 + m , 2 + m , m - 1 ) e de cara também já conseguimos o vetor diretor de s , v → s = ( 1,1 , 1 ) . Assim,

    Q Q ' → = Q ' - Q = ( 1 + m , 2 + m , m - 1 ) - ( 2,1 , - 2 )

    Q Q ' → =   ( m - 1 , m + 1 , m + 1 )

    Ok! Agora vamos usar a condição de portabilidade:

    Q Q ' → ⋅ v → s = 0 ⇒ ( m - 1 , m + 1 , m + 1 ) ⋅ ( 1,1 , 1 ) = 0

    ⇒ m - 1 + m + 1 + m + 1 = 0

    ⇒ 3 m + 1 = 0

    ⇒ m = - 1 3

    Usando m = - 1 3 , obtemos a projeção ortogonal de Q sobre s :

    Q ' = ( 1 + m , 2 + m , m - 1 ) = ( 1 - 1 3 , 2 - 1 3 , - 1 3 - 1 ) = ( 2 3 , 5 3 , - 4 3 )

    Além disso,

    Q Q ' → = ( m - 1 , m + 1 , m + 1 ) = ( - 4 3 , 2 3 , 2 3 ) .

    Passo 2

  3. Para calcular a área do triângulo P Q Q ' , precisamos de
  4. A = 1 2 | P Q → ∧ P Q ' → |

    Então, bora calcular esses vetores:

    P Q → = Q - P = ( 2,1 , - 2 ) - ( 1,2 , - 1 ) = ( 1 , - 1 , - 1 )

    P Q ' → = Q ' - P = ( 2 3 , 5 3 , - 4 3 ) - ( 1,2 , - 1 ) = ( - 1 3 , - 1 3 , - 1 3 )

    Agora, vamos calcular o produto vetorial

    P Q → ∧ P Q ' → =

    ⎜                 i →                                       j →                                         k   →   ⎜

    ⎜               1                         - 1                       - 1     ⎜ = ( 1 3 - 1 3 ) i → - ( - 1 3 - 1 3 ) j → + ( - 1 3 - 1 3 ) k →   = ( 0 , 2 3 , - 2 3 )

    ⎜   - 1 3                 - 1 3                   - 1 3   ⎜

    Prontinho, agora podemos calcular a área:

    A = 1 2 | P Q → ∧ P Q ' → | = 1 2 4 9 + 4 9 = 1 2 8 9 = 2 3

    Passo 3

  5. A reta r é determinada por P   = ( 1,2 , - 1 ) e Q = ( 2,1 , - 2 ) . Usando o ponto P   = ( 1,2 , - 1 ) e P Q → = ( 1 , - 1 , - 1 ) como o vetor diretor, obtemos as equações paramétricas da reta r :

r :   x = 1 + n ,   y = 2 - n ,   z = - 1 - n

Vamos tentar encontrar um ponto Q ' ' , simétrico a Q em relação a s . Sabemos que a distância de Q a s é dada por

| Q Q ' → | = | ( - 4 3 , 2 3 , 2 3 ) | = 16 9 + 4 9 + 4 9 = 24 3 = 2 6 3

Então, o ponto Q ' ' terá o dobro dessa distância até Q . Vamos construir uma reta Q Q ' saindo de Q = ( 2,1 , - 2 ) e com direção Q Q ' → = ( - 4 3 , 2 3 , 2 3 ) :

Q Q ' :   x = 2 - 4 3 t ,   y = 1 + 2 3 t ,   z = - 2 + 2 3 t

Para t = 0 , temos o ponto Q = ( 2,1 , - 2 ) e para t = 1 , temos Q ' = ( 2 3 , 5 3 , - 4 3 ) . Então, para t = 2 , devemos chegar em Q ' ' :

Q ' ' = ( 2 - 4 3 t , 1 + 2 3 t , - 2 + 2 3 t ) t = 2 = ( - 2 3 , 7 3 , - 2 3 )

Lembrando que Q ' ' pertence à reta r ' .

Agora, precisamos encontrar um novo ponto P ' , projeção ortogonal de P em relação a s . Mas, se prestarmos bem atenção, o ponto P pertence a reta s para m = 0 . Então, P é um ponto comum das retas r , s e r ' . Nesse caso, o vetor diretor de r ' será

P Q ' ' → = Q ' ' - P = ( - 2 3 , 7 3 , - 2 3 ) - ( 1,2 , - 1 ) = ( - 5 3 , 1 3 , 1 3 ) = 1 3 ( - 5,1 , 1 )

Para ficar mais simples, podemos usar somente v → = ( - 5,1 , 1 ) como vetor diretor e P = ( 1,2 , - 1 ) como ponto inicial para obter as equações paramétricas de r ' :

r ' :   x = 1 - 5 t ,   y = 2 + t ,   z = - 1 + t

Resposta

  1. Q ' = ( 2 3 , 5 3 , - 4 3 )
  2. A = 2 3
  3. r ' :   x = 1 + 5 t ,   y = 2 + t ,   z = - 1 + t