A reta é determinada por e . A reta é dada por .
- Ache , projeção ortogonal de sobre .
- Calcule a área do triângulo .
- Ache , simétrica de em relação a .
Passo 1
- Galera, para a gente encontrar a projeção ortogonal de sobre precisamos de um vetor que sai de até um ponto na reta e que é perpendicular a essa reta. Para encontrarmos a representação de , precisamos das equações paramétricas de :
- Para calcular a área do triângulo , precisamos de
- A reta é determinada por e . Usando o ponto e como o vetor diretor, obtemos as equações paramétricas da reta :
Então, o ponto e de cara também já conseguimos o vetor diretor de , . Assim,
Ok! Agora vamos usar a condição de portabilidade:
Usando , obtemos a projeção ortogonal de sobre :
Além disso,
.
Passo 2
Então, bora calcular esses vetores:
Agora, vamos calcular o produto vetorial
Prontinho, agora podemos calcular a área:
Passo 3
Vamos tentar encontrar um ponto , simétrico a em relação a . Sabemos que a distância de a é dada por
Então, o ponto terá o dobro dessa distância até . Vamos construir uma reta saindo de e com direção :
Para , temos o ponto e para , temos . Então, para , devemos chegar em :
Lembrando que pertence à reta .
Agora, precisamos encontrar um novo ponto , projeção ortogonal de em relação a . Mas, se prestarmos bem atenção, o ponto pertence a reta para . Então, é um ponto comum das retas , e . Nesse caso, o vetor diretor de será
Para ficar mais simples, podemos usar somente como vetor diretor e como ponto inicial para obter as equações paramétricas de :