A reta r   {   x - 1 1 = y - 2 2 = z - 1 - 2 é interseção de dois planos α e β . O plano α passa por B   = ( 0,3 , 2 ) e é perpendicular a β . Dê equações de α e β .

Passo 1

Galera, vamos começar reescrevendo a reta r na forma paramétrica:

r   {   x - 1 1 = y - 2 2 = z - 1 - 2 = t

⇒ x = t + 1 ,   y = 2 + 2 t ,   z = 1 - 2 t

Então, o vetor diretor da reta é v → = ( 1,2 , - 2 ) . Para a gente conseguir definir um plano, precisamos de três vetores nesse plano. Nós já sabemos que o plano α passa por B   = ( 0,3 , 2 ) , então, para um ponto X = ( x , y , z ) nesse plano, então temos um vetor

B X → = X - B = ( x , y , z ) - ( 0,3 , 2 ) = ( x , y - 3 , z - 2 )

Além disso, o vetor diretor da reta r também está contido no plano α . Ok, já são dois vetores, só falta o terceiro. Como a reta r faz parte do plano α , qualquer ponto dessa reta também pertence ao plano. Então, vamos fazer t = 0 para obter o ponto R = ( 1,2 , 1 ) . Então,

B R → = R - B = ( 1,2 , 1 ) - ( 0,3 , 2 ) = ( 1 , - 1 , - 1 )

Passo 2

No passo anterior, conseguimos três vetores do plano α . Esses três vetores deve ser l.d., então o determinante deles deve ser nulo:

  ⎢       x                 y - 3                     z - 2   ⎢

  ⎢       1                           2                             - 2           ⎢

  ⎢       1             - 1                           - 1           ⎢

= x ( - 2 - 2 ) - ( y - 3 ) ( - 1 + 2 ) + ( z - 2 ) ( - 1 - 2 ) = 0

⇒ - 4 x - y + 3 - 3 z + 6 = 0

⇒ α : - 4 x - y - 3 z + 9 = 0

Pronto, um plano já foi

Passo 3

Para o plano β , fica mais difícil encontrar três vetores, mas sabemos que o plano também passa pelo ponto R = ( 1,2 , 1 ) . Mas, o plano β é perpendicular ao α , ou seja, seus vetores normais são perpendiculares. Além disso, o vetor diretor de β é perpendicular ao vetor diretor da reta r . Então, para obter o vetor normal de β , vamos fazer o produto vetorial do vetor normal de α , que é n → α = ( - 4 , - 1 , - 3 ) , e do vetor diretor da reta, que é v → = ( 1,2 , - 2 ) :

  ⎢                     i →                                   j →                                         k →         ⎢

  ⎢     - 4                   - 1                           - 3         ⎢

  ⎢                   1                                 2                           - 2         ⎢

= ( 6 + 2 )   i →   - ( 3 + 8 )     j →   + ( 1 - 8 )     k →   = ( 8 , - 11 , - 7 )

Então, o plano β tem equação

β : 8 x - 11 y - 7 y + d = 0

Para encontrar o valor de d , vamos substituir o ponto R = ( 1,2 , 1 ) na equação do plano

8 ⋅ 1 - 11 ⋅ 2 - 7 ⋅ 1 + d = 0

⇒ 8 - 22 - 7 + d = 0

⇒ d = 21

Prontinho! Agora temos a equação do segundo plano:

β : 8 x - 11 y - 7 y + 21 = 0

Resposta

α : - 4 x - y - 3 z + 9 = 0

β : 8 x - 11 y - 7 y + 21 = 0