A reta é interseção de dois planos e . O plano passa por e é perpendicular a . Dê equações de e .
Passo 1
Galera, vamos começar reescrevendo a reta na forma paramétrica:
Então, o vetor diretor da reta é . Para a gente conseguir definir um plano, precisamos de três vetores nesse plano. Nós já sabemos que o plano passa por , então, para um ponto nesse plano, então temos um vetor
Além disso, o vetor diretor da reta também está contido no plano . Ok, já são dois vetores, só falta o terceiro. Como a reta faz parte do plano , qualquer ponto dessa reta também pertence ao plano. Então, vamos fazer para obter o ponto . Então,
Passo 2
No passo anterior, conseguimos três vetores do plano . Esses três vetores deve ser l.d., então o determinante deles deve ser nulo:
Pronto, um plano já foi
Passo 3
Para o plano , fica mais difícil encontrar três vetores, mas sabemos que o plano também passa pelo ponto . Mas, o plano é perpendicular ao , ou seja, seus vetores normais são perpendiculares. Além disso, o vetor diretor de é perpendicular ao vetor diretor da reta . Então, para obter o vetor normal de , vamos fazer o produto vetorial do vetor normal de , que é , e do vetor diretor da reta, que é :
Então, o plano tem equação
Para encontrar o valor de , vamos substituir o ponto na equação do plano
Prontinho! Agora temos a equação do segundo plano: