Sabendo que P é:

(a) projeção ortogonal no eixo y, P(x, y, z) = (__ ,__ ,__ );

(b) projeção ortogonal no plano xy, P(x, y, z) = (__ ,__ ,__ );

(c) reflexão em torno do plano xz, P(x, y, z) = (__ ,__ ,__ ).

Passo 1

Para desenvolvermos essa questão no jeitinho Responde Aí, ou seja, muitooo simples, nós vamos nos basear na tabela abaixo

Esses valores tabelados deixam claríssimos os autovalores das projeções e reflexões. Vamos usá-la?

Passo 2

  1. Aqui no item A) nós temos a seguinte projeção ortogonal no eixo y em P(x, y, z). Fazendo a projeção no espaço que estamos projetando, ou seja, o y, tem autovalor 1 e os demais são zerados pois são perpendiculares, portanto
  2. P ( 0 ,   1 ,   0 ) = P ( 0 , y , 0 )

    Passo 3

  3. No item B) a gente vai seguir o mesmo raciocínio, fazendo uma projeção ortogonal em torno de xy, então em xy o autovalor é 1, e em z é zerado por ser perpendicular, assim:
  4. P ( 1 ,   1 ,   0 ) = P ( x , y , 0 )

    Passo 4

  5. No item C) nós temos uma reflexão em torno de xz com autovalor 1 e perpendicular ao y com autovalor -1, portanto

P ( 1 ,   - 1 ,   1 ) = P ( x , - y , x )

Resposta

a )   P 0 , y , 0   ; b )   P x , y , 0   ; c )   P ( x , - y , x )