Sabendo-se que , calcule .
Passo 1
Fala, pessoal!
Vocês devem tá se perguntando como calcular se o enunciado não disse quem é , não é mesmo? Bom, vamos aos poucos, começando por :
Hum… interessante. Então . Nós podemos continuar nesse processo até . Ao invés disso, vamos usar a indução matemática. Você provavelmente já percebeu que , mas para provar isso, precisamos supor que a relação é válida para e a partir daí obter a validade para . Para , assumimos que vale
e multiplicamos por mais uma vez:
Prontinho, mostramos o que precisava e podemos concluir que .
Passo 2
A matriz é formada pelos autovetores de , que também são autovetores de . Os autovalores de são dados por
Agora, os autovetores são dados por
Para o autovalor
Então, e podemos escolher para ter um vetor unitário. Para o autovalor , obtemos
de modo que e podemos escolher .
Passo 3
Então, a matriz vai ser
que nada mais é que a identidade. Do item (a), sabemos que também. Então,
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Resposta
.