Sabendo-se que A = P^(- 1) D P , calcule A^(10) .

Passo 1

Fala, pessoal!

Vocês devem tá se perguntando como calcular A^(10) se o enunciado não disse quem é P , não é mesmo? Bom, vamos aos poucos, começando por A^2 :

A^2 = (P^(- 1) D P) (P^(- 1) D P) = P^(- 1) D P P^(- 1) D P = P^(- 1) D I D P = P^(- 1) D^2 P

Hum… interessante. Então A^2 = P^(- 1) D^2 P . Nós podemos continuar nesse processo até A^(10) . Ao invés disso, vamos usar a indução matemática. Você provavelmente já percebeu que A^(10) = P^(- 1) D^(10) P , mas para provar isso, precisamos supor que a relação é válida para n - 1 e a partir daí obter a validade para n . Para n - 1 , assumimos que vale

A^(n - 1) = P^(- 1) D^(n - 1) P

e multiplicamos por A mais uma vez:

A ( A^(n - 1) ) = A ( P^(- 1) D^(n - 1) P )

=> A^n = P^(- 1) D^() P P^(- 1) D^(n - 1) P = P^(- 1) D^n P

Prontinho, mostramos o que precisava e podemos concluir que A^(10) = P^(- 1) D^(10) P .

Passo 2

A matriz P é formada pelos autovetores de A , que também são autovetores de D . Os autovalores de D são dados por

d e t ( D - t I_2 ) = 0 => ( 1 - t ) ( - t - 1 ) = 0 => t = 1 , t = - 1

Agora, os autovetores são dados por

Para o autovalor t = 1

⎜ 1 0 ⎜ ⎜ a ⎜ = ⎜ a ⎜

⎜ 0 - 1 ⎜ ⎜ b ⎜ ⎜ b ⎜

=> ⎜ a ⎜ = ⎜ a ⎜

⎜ - b ⎜ ⎜ b ⎜

Então, b = 0 e podemos escolher a = 1 para ter um vetor unitário. Para o autovalor t = 1 , obtemos

⎜ a ⎜ = ⎜ - a ⎜

⎜ - b ⎜ ⎜ - b ⎜

de modo que a = 0 e podemos escolher b = 1 .

Passo 3

Então, a matriz P vai ser

⎜ 1 0 ⎜

⎜ 0 1 ⎜

que nada mais é que a identidade. Do item (a), sabemos que D^(10) = I_2 também. Então,

A^(10) = P^(- 1) D^(10) P = I_2^(- 1) I_2 I_2 = I_2

E aí, gostou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

A^(10) = I_2 .