Sabe-se que T(1, 1, −1) = 3(1, 1, −1), T(1, 0, 1) = 3(1, 0, 1) e T w = w, com w ortogonal a (1, 1, −1) e (1, 0, 1). Determine P ortogonal tal que P D P - 1 = 3   0   0   0   3   0   0   0   1   .

Passo 1

O primeiro passo aqui vai ser montar um sistema de 3 variáveis (x,y,z) dos termos a qual w é ortogonal, assim:

{ x + y - z = 0   x + z = 0  

Desenvolvendo o sistema, temos:

{ x = x   y = - 2 x   z = - x  

Ou seja, w é ( 1 , - 2 , - 1 ) . Bem simples, né?

Passo 2

O próximo passo vai ser obter os autovetores, esses vão ser os termos a qual w está associada e o próprio w, todos divididos pela raiz do quadrado deles, dessa forma:

( 1 ,   1 ,   - 1 ) 1 2 + 1 2 + - 1 2 = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) 3

( 1 ,   0 ,   1 ) 1 2 + 1 2 = ( 1 ,   0 ,   1 ) 2

( 1 ,   - 2 ,   - 1 ) 1 2 + ( - 2 ) 2 + - 1 2 = ( 1 ,   - 2 ,   - 1 ) 6

Passo 3

Agora vamos montar a matriz P com os valores obtidos no passo 2:

P = 1 3   1 2   1 6     1 ,   3   0     - 2 6   - 1 3   1 2   - 1 6  

Resposta

P = 1 3   1 2   1 6     1 ,   3   0     - 2 6   - 1 3   1 2   - 1 6