Sabe-se que λ = 10 é autovalor para 4   - 2   - 3   9   . Determine uma base para o autoespaço associado. Determine três autovetores distintos

Passo 1

Segue esse raciocínio... para encontrarmos o autoespaço basta subtrairmos λ = 1 da diagonal da matriz:

4 - 10   - 2   - 3   9 - 10   = - 6   - 2   - 3   - 1  

Se transformarmos a matriz em um sistema, sendo cada coluna uma variável, assim:

{ - 6 x - 2 y = 0   - 3 x - y = 0  

Daí temos que - y = 3 x   e   x = - x , portanto, uma base é ( - 1   ,   3 )

Passo 2

E agora pra determinarmos autovetores distintos?? Ferrou

Olha só, a gente consegue pensar esse problema de uma forma mais fácil, se no item A ficou claro que ( - 1   ,   3 ) é base, nós de cara já podemos considerar um autovetor, mas e os demais??

Bom, a gente poderia fazer um tanto de cálculo e complicar tudo OU basta pensar em variações matemáticas pra ( - 1   ,   3 ) , ou seja, podemos inverter os sinais e considerar ( 1   ,   - 3 ) também é uma base! E por fim, um múltiplo de 10 que mantivesse os sinais alternados seria ( 10   ,   - 30 ) . Logo, essas seriam 3 autovetores distintos da matriz !!

Resposta

  1. ( - 1   ,   3 )
  2. ( - 1   ,   3 )   ;   ( 1   ,   - 3 )   ;   ( 10   ,   - 30 )