Sabe-se que Z   x   Z munido das operações de adição e multiplicações assim definidas:

( a , b )   +   ( c , d )   =   ( a + c , b + d )

(   a , b ) ( c , d )   =   ( a c , 0 )  

É um anel, mostre que a aplicação de f :   Z x Z t a l   q u e   f ( a , b )   =   a é um homomorfismo sobrejetor.

Passo 1

Saudações galera! Tudo bem?

Essa questão é totalmente teórica, pois se trata de uma demonstração.

Tá preparado?

Bora lá então!

Passo 2

Para verificar essa afirmação vamos testar a nossa função nas propriedades homomorfismo sobrejetor.

Então temos a função:

f ( a , b )   =   a

Para   f 0 , b =     0

f 0 , b = a c , 0 = 0 . c   ,   0 = 0  

Para   f - a , b =   - f ( a , b )

- a , b +   c , d =   - a + c , b + d =   -   a + b +   c , d

Para   I m f - = i m f

i m f a , b = a     s e n d o   t o d a s   a s   p r o p r i e d a d e s   o b e d e c i d a s  

i m f - a , b = a 1     o u   i m f - a , b = 1 .   a = a  

Logo I m f - = i m f

- a , b +   c , d =   - a + c , b + d =   -   a + b +   c , d

Como as três condições de homomorfismo sobrejetor de anéis foram obedecidas, nossa prova está concluída

Te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)