São dadas a reta

⎧ x = 2 λ

  r   ⎢ y   = - 3 - λ

      ⎩ z   = 7 - 2 λ

e a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 6 z + 5 = 0 . (a) Estude a posição relativa da reta e da superfície esférica (fura, tangência ou é externa); (b) ache um plano tangente à superfície e que contenha r .

Passo 1

  1. Fala, galera! Para estudar qual é a posição relativa da reta e da superfície esférica, vamos substituir as coordenadas da reta na superfície esférica. Mas vamos reescrever a equação da superfície esférica na forma reduzida:
  2. x 2 - 2 x + y 2 + 4 y + z 2 - 6 z + 5 = 0

    ⇒ x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 + 4 y + 4 - 4 + z 2 - 6 z + 9 - 9 + 5 = 0

    ⇒ ( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 9

    Com isso, vemos que o centro da esfera está em C = ( 1 , - 2,3 ) e seu raio é r = 3 .

    Agora, vamos substituir as coordenadas da reta nessa equação:

    ⇒ ( 2 λ - 1 ) 2 + ( - 3 - λ + 2 ) 2 + ( 7 - 2 λ - 3 ) 2 = 9

    ⇒ ( 2 λ - 1 ) 2 + ( λ + 1 ) 2 + ( 4 - 2 λ ) 2 = 9

    ⇒ 4 λ 2 - 4 λ + 1 + λ 2 + 2 λ + 1 + 16 - 16 λ + 4 λ 2 = 9

    ⇒ 9 λ 2 - 18 λ + 9 = 0

    ⇒ λ 2 - 2 λ + 1 = 0

    ⇒ ( λ - 1 ) 2 = 0

    ⇒ λ = 1

    Como temos só um valor possível para λ , então podemos ver que a reta tangencia a superfície esférica no ponto P = ( 2 , - 4,5 ) .

    Passo 2

  3. Para descobrir um plano tangente à superfície e que contenha r , precisamos usar o vetor que sai do ponto de interseção da reta com a superfície esférica, P = ( 2 , - 4,5 ) , até o centro C = ( 1 , - 2,3 ) da esfera como vetor normal

n → = P C →   =   C - P = ( 1 , - 2,3 ) - ( 2 , - 4,5 ) = ( - 1,2 , - 2 )

n → = ( - 1,2 , - 2 )

Então, temos um plano na seguinte forma:

- x + 2 y - 2 z + d = 0

e substituímos o ponto P = ( 2 , - 4,5 ) para determinar d :

- 2 + 2 ⋅ ( - 4 ) - 2 ⋅ 5 + d = 0

⇒   - 2 - 8 - 10 + d = 0

⇒   d = 20

Então, chegamos a tão esperada expressão para o plano tangente:

- x + 2 y - 2 z + 20 = 0

⇒ x - 2 y + 2 z - 20 = 0

Resposta

tangencia;

x - 2 y + 2 z - 20 = 0 .