São dadas a reta
e a superfície esférica . (a) Estude a posição relativa da reta e da superfície esférica (fura, tangência ou é externa); (b) ache um plano tangente à superfície e que contenha .
Passo 1
- Fala, galera! Para estudar qual é a posição relativa da reta e da superfície esférica, vamos substituir as coordenadas da reta na superfície esférica. Mas vamos reescrever a equação da superfície esférica na forma reduzida:
- Para descobrir um plano tangente à superfície e que contenha , precisamos usar o vetor que sai do ponto de interseção da reta com a superfície esférica, , até o centro da esfera como vetor normal
Com isso, vemos que o centro da esfera está em e seu raio é .
Agora, vamos substituir as coordenadas da reta nessa equação:
Como temos só um valor possível para , então podemos ver que a reta tangencia a superfície esférica no ponto .
Passo 2
Então, temos um plano na seguinte forma:
e substituímos o ponto para determinar :
Então, chegamos a tão esperada expressão para o plano tangente:
Resposta
tangencia;
.