São dadas as retas: r   { x - 3 = y - 7 = z e

⎧ x = 1 + α

  s   ⎢ y = - 2   +   3 α .

      ⎩ z = - 1 - α

  1. Escreva equações paramétricas da reta t concorrente com r e s e perpendicular a ambas.
  2. Determine o comprimento do segmento que r e s determinam sobre t .

Passo 1

Fala, galera! Antes de começar a questão, vamos reescrever a reta r na forma paramétrica:

r : x - 3 = y - 7 = z = λ ⇒ x = λ + 3 ,   y = λ + 7 ,   z = λ

Beleza, agora podemos começar a questão.

  1. Precisamos de uma reta t , com vetor diretor dado por v → t = ( a , b , c ) e precisamos também descobrir algum ponto pelo qual a reta t passa. Mas, uma coisa de cada vez. Como t é perpendicular a r e s , quer dizer que o vetor diretor da primeira reta é perpendicular aos vetores diretores das outras duas. Temos v → r = ( 1,1 , 1 ) e v → s = ( 1,3 , - 1 ) . Além disso, temos os seguintes pontos genéricos: R = ( λ + 3 , λ + 7 ,   λ ) em r e S : ( 1 + α , - 2   +   3 α , - 1 - α ) em s . Assim, temos um vetor
  2. S R → = R - S = ( λ + 3 , λ + 7 ,   λ ) - ( 1 + α , - 2   +   3 α , - 1 - α )

    S R → = ( λ + 2 - α , λ + 9 - 3 α , α + λ + 1 )

    que é paralelo a v → t , ou seja, R S → = v → t . Então,

    v → t ⋅ v → r = 0 ⇒ R S → ⋅ v → r = 0 ⇒ ( λ + 2 - α , λ + 9 - 3 α , α + λ + 1 ) ⋅ ( 1,1 , 1 ) = 0

    ⇒ - α + λ + 2 - 3 α + λ + 9 + α + λ + 1 = 0

    ⇒ - 3 α + 3 λ + 12 = 0 ⇒ 3 λ = 3 α - 12

    v → t ⋅ v → s = 0 ⇒ R S → ⋅ v → s = 0 ⇒ ( λ + 2 - α , λ + 9 - 3 α , α + λ + 1 ) ⋅ ( 1,3 , - 1 )

    ⇒ λ + 2 - α + 3 ( λ + 9 - 3 α ) - ( α + λ + 1 ) = 0

    ⇒ - 11 α + 3 λ + 28 = 0

    Vamos substituir 3 λ = 3 α - 12 na segunda equação:

    11 α - 3 λ - 28 = 0 ⇒ 11 α - 3 α + 12 - 28 = 0 ⇒ 8 α - 16 = 0 ⇒ α = 2

    Então,

    3 λ = 3 α - 12 = 6 - 12 = - 6 ⇒ λ = - 2

    Agora, substituímos λ = - 2 e α = 2 em

    R = ( λ + 3 , λ + 7 ,   λ ) = ( 1,5 , - 2 )

    S R → = ( λ + 2 - α , λ + 9 - 3 α , α + λ + 1 ) = ( - 2,1 , 1 )

    Por fim, vamos usar o ponto e o vetor acima para obter as equações paramétricas da reta t :

    t :   x = 1 - 2 m ,   y = 5 + m ,   z = - 2 + m

    Passo 2

  3. Pessoal, o comprimento do segmento que r e s determinam sobre t é justamente o módulo do vetor S R → :

| S R → | = 1 + 4 + 1 = 6

Resposta

  1. t :   x = 1 - 2 m ,   y = 5 + m ,   z = - 2 + m
  2. | S R → | = 6