São dadas as retas

⎧ x   = 2   +   α

a     ⎢ y   = 1   - α e

      ⎩   z   =   - 1   +   7 α

⎧ x   = 2   +   5 β

b     ⎢ y   = 1   - β   .

      ⎩   z   = - 1   - 11 β

O triângulo P A B tem o vértice P nas duas retas a e b ; A está em a e B , em b ; A B →   =   ( - 3,1 , 2 ) . Determine as coordenadas dos três vértices: P , A e B .

Passo 1

Galera, usando as equações paramétricas das retas, conseguimos ver que A = ( 2 + α , 1 - α , - 1 + 7 α ) pois A está em a e B = ( 2 + 5 β , 1 - β , - 1 - 11 β ) pois B está em b . Assim, temos o vetor

A B → = B - A = ( 2 + 5 β , 1 - β , - 1 - 11 β ) - ( 2 + α , 1 - α , - 1 + 7 α )

A B → = ( 5 β - α , - β + α , - 11 β - 7 α )

Passo 2

Mas o enunciado nos disse que A B →   =   ( - 3,1 , 2 ) . Comparando com o resultado acima, obtemos as seguintes equações

5 β - α = - 3

- β + α = 1 ⇒ α = β + 1

- 11 β - 7 α = 2

Vamos substituir α = β + 1 na primeira equação:

5 β - α = - 3 ⇒ 5 β - β - 1 = - 3 ⇒ 4 β = - 2

⇒ β = - 1 2

⇒ α = β + 1 = - 1 2 + 1

⇒ α = 1 2

Agora, vamos substituir α = 1 2 e β = - 1 2 para determinar os vértices A e B :

A = ( 2 + α , 1 - α , - 1 + 7 α ) = ( 2 + 1 2 , 1 - 1 2 , - 1 + 7 2 ) = ( 5 2 , 1 2 , 5 2 )

B = ( 2 + 5 β , 1 - β , - 1 - 11 β ) = ( 2 - 5 2 , 1 + 1 2 , - 1 + 11 2 ) = ( - 1 2 , 3 2 , 9 2 )

Passo 3

Agora vamos tentar encontrar o ponto P , que é a intercessão das duas retas. Nesse ponto, devemos ter

2 + α = 2 + 5 β ⇒ α = 5 β

1 - α = 1 - β ⇒ α = β

- 1 + 7 α = - 1 - 11 β ⇒ 7 α = 11 β

As três equações acima não concordam uma com a outra. A única forma das três serem verdadeiras simultaneamente é se α = β = 0 . Assim, o ponto que queremos é P = ( 2,1 , - 1 ) .

Resposta

A = ( 5 2 , 1 2 , 5 2 )

B = ( - 1 2 , 3 2 , 9 2 )

P = ( 2,1 , - 1 )