São dadas as retas r   {   x   = y - 1 = z - 2 - 3 e

⎧ x   = 1   +   3 λ

  s   ⎢ y   = 3   - 6 λ

      ⎩ z   = 1   +   4 λ

e o vetor v →   = ( - 3,5   , - 6 ) . Escreva equações paramétricas da reta que é concorrente com r e s e paralela ao vetor v → .

Passo 1

Fala, pessoal! Vamos começar essa questão reescrevendo a reta r na forma paramétrica:

r   : x = α ,   y = 1 + α , z = 2 - 3 α

Assim, fica mais fácil identificar os vetores diretores das duas retas: v → r = ( 1,1 , - 3 ) e v → s = ( 3 , - 6,4 ) .

A reta que queremos, t , é paralela ao vetor v → = ( - 3,5   , - 6 ) . Vamos pegar um ponto genérico na reta r e outro na reta s e calcular o vetor entre eles. Lembrando que esse vetor deve ser paralelo a v →   =   ( - 3,5   , - 6 ) .

Na reta r , temos R = ( α ,   1 + α , 2 - 3 α ) e na reta s temos S = ( 1   +   3 λ , 3   - 6 λ , 1   +   4 λ ) . Então, o vetor que queremos é:

R S → = S - R = ( 1 + 3 λ , 3 - 6 λ , 1 + 4 λ ) - ( α , 1 + α , 2 - 3 α )

R S → = ( 1 + 3 λ - α , 2 - 6 λ - α , - 1 + 4 λ + 3 α )

Passo 2

Como R S → = k v → , então

( 1 + 3 λ - α , 2 - 6 λ - α , - 1 + 4 λ + 3 ) = k ( - 3,5 , - 6 )

Assim, temos o seguinte sistema de equações

( 1 ) : 1 + 3 λ - α = - 3 k

( 2 ) : 2 - 6 λ - α = 5 k

( 3 ) : - 1 + 4 λ + 3 α = - 6 k

Podemos fazer ( 3 ) = 2 × ( 1 ) (é só olhar o lado direito dessas equações), então

2 +   6 λ - 2 α = - 1   +   4 λ + 3 α ⇒ 2 λ = 5 α - 3

Agora, vamos substituir 2 λ = 5 α - 3 em ( 2 ) :

2 - 6 λ - α = 5 k ⇒ 2 - 3 ( 5 α - 3 ) - α = 5 k

⇒ 2 - 15 α + 9 - α = 5 k

⇒ k = 1 5 ( - 16 α + 11 )

Agora, vamos substituir k = 1 5 ( - 16 α + 11 ) e 2 λ = 5 α - 3 em ( 3 ) :

- 1 + 2 ( 5 α - 3 ) + 3 α = - 6 5 ( - 16 α + 11 )

⇒ - 7 + 13 α = - 6 5 ( - 16 α + 11 )

⇒ - 35   +   65 α = - 6 ( - 16 α + 11 )

⇒ - 35   +   65 α = 96 α - 66

⇒ 31 α = 31

⇒ α = 1

Passo 3

Agora que sabemos que α = 1 , podemos encontrar os outros parâmetros:

k = 1 5 ( - 16 α + 11 ) = - 5 5 = - 1

2 λ = 5 α - 3 = 2

⇒ λ = 1

Com isso, encontramos os pontos

R = ( α ,   1 + α , 2 - 3 α ) = ( 1,2 , - 1 )

S = ( 1 + 3 λ , 3 - 6 λ , 1 + 4 λ ) = ( 4 , - 3,5 )

Usando S = ( 4 , - 3,5 ) como ponto inicial e v → = ( - 3,5   , - 6 ) , obtemos as equações paramétricas dessa reta

t :   x = 4 - 3 n ,   y = - 3 + 5 n ,   z = 5 - 6 n

Resposta

Pontos R = ( 1,2 , - 1 ) e S = ( 4 , - 3,5 )

t :   x = 4 - 3 n ,   y = - 3 + 5 n ,   z = 5 - 6 n