São dados u →   =   ( x , 2,4 ) , v →   = ( - 8,4 , 2 ) e m →   = ( a , b , c ) .

  1. Determine x para que a equação u →   ∧ m →   =   v → possa ter solução. (Lembre-se da direção de x u →   ∧ m → .)
  2. Com o valor de x encontrado, resolva a equação, sabendo que | m → | = 5   e o ângulo que u →   forma com m →   é obtuso.

Passo 1

  1. Fala, galera! Vamos começar calculando u →   ∧ m → :
  2. ⎜                     i →                             j →                         k →   ⎜

    ⎜                   x                           2                         4   ⎜ = ( 2 c - 4 b ) i → - ( x c - 4 a ) j → + ( x b - 2 a ) k →

    ⎜                   a                           b                         c   ⎜

    Fazendo u →   ∧ m →   =   v → , obtemos

    ( 2 c - 4 b , 4 a - x c , x b - 2 a ) = ( - 8,4 , 2 )

    Assim, temos o seguinte sistema de equações:

    2 c - 4 b = - 8

    4 a - x c = 4

    x b - 2 a = 2

    Vamos multiplicar a terceira equação por 2 e somar com a segunda:

    4 a - x c + 2 x b - 4 a = 4 + 4 ⇒ x ( 2 b - c ) = 8

    Multiplicando a primeira equação por - 1 , obtemos

    4 b - 2 c = 8 = x ( 2 b - c ) ⇒ x = 2 ( 2 b - c ) 2 b - c = 2

    Então, u →   =   ( 2,2 , 4 )

    Passo 2

    Substituindo x = 2 no sistema de equações, obtemos

    2 c - 4 b = - 8

    4 a - 2 c = 4

    2 b - 2 a = 2

    Se somarmos as duas primeiras e dividirmos por - 2 , vamos obter exatamente o mesmo resultado que a terceira. Então, na verdade só temos duas equações para três incógnitas. O melhor que podemos fazer no momento é escrever duas das incógnitas em termos da terceira:

    2 c - 4 b = - 8 ⇒ c - 2 b = - 4 ⇒ c = 2 b - 4

    2 b - 2 a = 2 ⇒ 2 a = 2 b - 2 ⇒ a = b - 1

    Assim, m →   = ( b - 1 , b , 2 b - 4 )

    Passo 3

  3. Nesse item, já vamos considerar que | m → | = 5   e o ângulo que u →   forma com m →   é obtuso. Assim, vamos poder determinar b . Temos

| m → | = ( b - 1 ) 2 + b 2 + ( 2 b - 4 ) 2 = b 2 - 2 b + 1 + b 2 + 4 b 2 - 16 b + 16

| m → | = 6 b 2 - 18 b + 17

Fazendo | m → | = 5   , obtemos

6 b 2 - 18 b + 17 = 5 ⇒ 6 b 2 - 18 b + 17 = 5

⇒ 6 b 2 - 18 b + 12 = 0 ⇒ b 2 - 3 b + 2 = 0

⇒ b = 3 ± 9 - 4 ⋅ 1 ⋅ 2 2 = 3 ± 1 2 = 3 ± 1 2 ⇒ b = 1 ,   b = 2

Para decidir qual o valor correto de b , vamos usar a condição de que o ângulo que u →   forma com m →   é obtuso, ou seja

u →   ⋅ m → < 0 ⇒ ( b - 1 , b , 2 b - 4 ) ⋅   ( 2,2 , 4 ) < 0

⇒ 2 ( b - 1 ) + 2 b + 2 ( b - 4 ) < 0

⇒ 2 b - 2 + 2 b + 2 b - 8 < 0

⇒ 6 b - 10 < 0

⇒ b < 10 6 ⇒ b < 5 3 = 1,67

Então, devemos ter b = 1 e m →   = ( b - 1 , b , 2 b - 4 ) = ( 0,1 , - 2 )

Resposta

x = 2

m →   = ( 0,1 , - 2 )