São dados: | a → |   = 2 , | b → |   = 1 , a →   ⊥   b →   e   a → ∧ b →   =   c →     .

  1. Calcule b → ∧ c → e c → ∧ a → .
  2. Sendo O P → = a →   + b →   - 2 c → e O Q → = a →   + b →   -   c → , calcule O P →   ∧   O Q → em função de a , →   b → e c →
  3. Calcule a área do triângulo O P Q .

Passo 1

  1. Fala, pessoal! Para essa questão só precisamos substituir   c → = a → ∧ b →   e usar a fórmula de produto vetorial duplo
  2. b → ∧ c → = b → ∧ ( a → ∧ b →   ) = ( b → ⋅ b → ) a → - ( b → ⋅ a → ) b → = | b → | 2 a → - 0 = a →

    c → ∧ a →   = ( a → ∧ b →   ) ∧ a → = - a → ∧ ( a → ∧ b →   )   =   - ( a → ⋅ b → ) a →   + ( a → ⋅ a → ) b → = | a → | 2 b → = 4 b → ,

    onde utilizamos que | a → |   = 2 , | b → |   = 1 e a →   ⊥   b →   .

    Passo 2

  3. Temos o seguinte produto vetorial
  4. O P → ∧ O Q → = ( a →   + b →   - 2 c → ) ∧ ( a →   + b →   -   c → )

    O P → ∧ O Q → = a → ∧ ( a →   + b →   -   c → ) + b →   ∧ ( a →   + b →   -   c → ) - 2 c → ∧ ( a →   + b →   -   c → )

    O P → ∧ O Q → = a → ∧ a → + a → ∧ b → - a → ∧ c → + b → ∧ a → + b → ∧ b → - b → ∧ c → - 2 c → ∧ a → - 2 c → ∧ b → + 2 c → ∧ c →

    O P → ∧ O Q → = a → ∧ b → - a → ∧   c → - a →   ∧ b →   - b →   ∧   c → + 2 a → ∧ c →   + 2 b → ∧ c →  

    O P → ∧ O Q → = a → ∧ c →   + b → ∧ c →  

    Mas, do item anterior, temos que a → ∧ c →     =   - 4 b   → e b → ∧ c → =   a → . Daí,

    O P → ∧ O Q → = - 4 b → + a →

    Passo 3

  5. Para calcular a área de O P Q , só precisamos da fórmula:

A = 1 2 |   O P → ∧ O Q | →

Mas, temos

  | O P → ∧ O Q → | 2 = ( - 4 b → + a → ) ⋅ ( - 4 b → + a → ) = 16 | b → | 2 - 8 b → ⋅ a → + | a → | 2   =   16   +   4   =   20

⇒   | O P → ∧ O Q → | =   20 = 2 5

Logo,

A = 1 2 |   O P → ∧ O Q | →   =   2 5 2   =   5

Resposta

  1. a → ,   4 b → ;
  2. a →   -   4 b → ;
  3. 5 .