São dados: C A →   = ( 1,2 , - 1 ) e C B → = ( 2,3 , 0 ) .

  1. Faça um desenho razoável do triângulo A B C e dê os cossenos dos três ângulos internos do triângulo.
  2. Decomponha A B → numa soma de vetores não nulos, um paralelo a C A → e outro ortogonal a C A → .
  3. Calcule a área do triângulo A B C .

Passo 1

  1. Galerinha, já temos dois vetores dos lados do triângulo: C A →   = ( 1,2 , - 1 ) e C B → = ( 2,3 , 0 ) . Então, só precisamos calcular
  2. A B → = A C → + C B → = - C A → + C B → = - ( 1,2 , - 1 ) + ( 2,3 , 0 ) = ( 1,1 , 1 )

    Com isso, podemos obter o comprimento de cada lado do triângulo:

    | A B → | = 1 + 1 + 1 = 3

    | C A → | = 1 + 4 + 1 = 6

    | C B → | = 4 + 9 = 13

    Só com essa informação, já é possível desenhar o triângulo, mas vamos calcular os ângulos internos antes disso:

    c o s   A = A B → ⋅ A C → | A B → | ⋅ | A C → | = ( 1,1 , 1 ) ⋅ ( - 1 , - 2,1 ) 3 6 = - 1 - 2 - + 1 3 6 = - 2 3 6 = - 2 18

    c o s   B = B A → ⋅ B C → | A B → | ⋅ | B C → | = ( - 1 , - 1 , - 1 ) ⋅ ( - 2 , - 3,0 ) 3 13 = 2 + 3 3 13 = 5 3 13 = 5 39

    c o s   C = C B → ⋅ C A → | C B → | ⋅ | A C → | = ( 2,3 , 0 ) ⋅ ( 1,2 , - 1 ) 13 6 = 2 + 6 13 6 = 8 13 6 = 8 78

    Passo 2

  3. Agora, temos que decompor A B → numa soma de vetores não nulos, um paralelo a C A → e outro ortogonal a C A → . O vetor paralelo a C A → será da forma v → = a ( 1,2 , - 1 ) . Já o vetor ortogonal a ele tem que obedecer
  4. u → ⋅ A C → = 0 ⇒ ( x , y , z ) ⋅ ( 1,2 , - 1 ) = 0 ⇒ x + 2 y - z = 0 ⇒ z = x + 2 y

    Então, devemos ter algo do tipo

    A B → = u → + v → ⇒ ( 1,1 , 1 ) = ( x , y , x + 2 y ) + a ( 1,2 , - 1 ) = ( x + a , y + 2 a , x + 2 y - a )

    Comparando as três entradas dos vetores, vemos que

    x + a = 1

    y + 2 a = 1

    x + 2 y - a = 1

    Subtraindo a primeira equação da terceira, obtemos

    x + 2 y - a - x - a = 1 - 1 ⇒ 2 y - 2 a = 0 ⇒ y = a

    Agora, substituímos y = a na segunda equação:

    y + 2 a = 1 ⇒ a + 2 a = 1 ⇒ a = 1 3

    Agora, substituímos a = 1 3 na primeira equação:

    x + a = 1 ⇒ x + 1 3 = 1 ⇒ x = 2 3

    Com todas essas informações, podemos ver que A B → pode ser decomposto como

    A B → = ( x , y , x + 2 y ) + a ( 1,2 , - 1 ) = ( 2 3 , 1 3 , 4 3 ) + 1 3 ( 1,2 , - 1 ) = 1 3 ( 2,1 , 4 ) + 1 3 ( 1,2 , - 1 )

    Passo 3

  5. Agora, para calcular a área do triângulo, só precisamos escolher uma base e obter a altura em relação a essa base. Vamos dizer que a base seja A C → . Então, | C A → | = 6 . Para encontrarmos a altura, só precisamos de um vetor que seja perpendicular a A C → e que passe pelo vértice B . Mas espera um pouco, esse vetor é justamente o vetor u → = 1 3 ( 2,1 , 4 ) que calculamos no item anterior! Assim,

| u → | = 4 9 + 1 9 + 16 9 = 21 9

Agora, só precisamos lembrar que a área do triângulo é igual a base vezes a altura dividido por dois:

A = 1 2 | u → | | A C → | = 1 2 21 9 6 = 1 2 42 3 = 14 2

Resposta

  1. c o s   A = - 2 18 , c o s   B = 5 39 , c o s   C = 8 78
  2. A B → = 1 3 ( 2,1 , 4 ) + 1 3 ( 1,2 , - 1 )
  3. A = 14 2