São dados o plano π   { x - y + z - 6 = 0 e o ponto P = ( 2 , - 4,3 ) .

  1. Escreva equações paramétricas da reta r que passa por P e é perpendicular a π .
  2. Ache as coordenadas do ponto de interseção de r e π .
  3. Ache as coordenadas do ponto simétrico de P em relação a π .

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem com vocês? Então, bora lá!

  1. Como a reta r é perpendicular a π , então o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal ao plano, que é n → = ( 1 , - 1,1 ) . Além disso, a reta passa pelo ponto P = ( 2 , - 4,3 ) . Então, já temos tudo que é necessário para obter a equação da reta :
  2. r :   x = 2 + t ,   y = - 4 - t ,   z = 3 + t

    Passo 2

  3. Para encontrar o ponto de interseção entre r e π , precisamos substituir as coordenadas da reta   ( 2 + t , - 4 - t ,   3 + t ) na equação do plano:
  4. π   { x - y + z - 6 = 0

    ⇒ 2 + t + 4 + t + 3 + t - 6 = 0

    ⇒ 3 t + 3 = 0

    ⇒ t = - 1

    Então, quando o parâmetro t = - 1 , obtemos o ponto de interseção:

    Q = ( 2 + t , - 4 - t ,   3 + t ) t = - 1 = ( 1 , - 3,2 )

    Passo 3

  5. Para achar o ponto simétrico de P em relação a π , precisamos prestar atenção em alguns detalhes. A reta r passa pelos pontos P , Q e também pelo ponto simétrico P ' . Vamos reescrever as equações paramétricas da reta aqui:

r :   x = 2 + t ,   y = - 4 - t ,   z = 3 + t

Quando t = 0 , caímos no ponto P = ( 2 , - 4,3 ) . Quando t = - 1 , caímos no ponto Q = ( 1 , - 3,2 ) . Se a gente continuar nesse raciocínio, t = - 2 deve dar o ponto P ' :

P ' = ( 2 + t , - 4 - t ,   3 + t ) t = - 2 = ( 0 , - 2,1 )

Resposta

  1. r :   x = 2 + t ,   y = - 4 - t ,   z = 3 + t
  2. Q = ( 1 , - 3,2 )
  3. P ' = ( 0 , - 2,1 )