São dados os pontos A   =   ( 1,4 , 2 ) , B   =   ( 3,1 , 0 ) e C = ( 7 , - 1,2 ) e P = ( x , 2 , - 1 ) .

  1. Calcule x para que P pertença ao plano π determinado pelos pontos A ,   B e C .
  2. Escreva equações paramétricas da reta r que passa por A e é perpendicular a π .

Passo 1

  1. Para que P pertença ao plano π determinado pelos pontos A ,   B e C , os vetores A B → , A C → e A P → devem ser l.d. Vamos calcular esses vetores
  2. A B → = B - A   = ( 3,1 , 0 ) -   ( 1,4 , 2 ) = ( 2 , - 3 , - 2 )

    A C → = C - A   = ( 7 , - 1,2 ) -   ( 1,4 , 2 ) = ( 6 , - 5,0 )

    A P → = P - A   =   ( x , 2 , - 1 ) -   ( 1,4 , 2 ) = ( x - 1 , - 2 , - 3 )

    Agora, usando a condição de que eles devem ser l.d., temos que o determinante deve ser nulo:

    ⎜ x - 1             - 2                   - 3     ⎜

    ⎜         2                     -   3                     - 2   ⎜ = ( x - 1 ) ( 0 - 10 ) - ( - 2 ) ( 0 + 12 ) + ( - 3 ) ( - 10 + 18 ) = 0

    ⎜         6                       - 5                                   0   ⎜

    ⇒ - 10 x + 10 + 24 + 30 - 54 = 0 ⇒ - 10 x + 10 = 0 ⇒ x = 1

    Passo 2

  3. Vamos começar obtendo a equação do plano π . Para isso, precisamos do determinante de A B → , A C → e A X → , onde

A X → = X - A = ( x , y , z ) -   ( 1,4 , 2 ) = ( x - 1 , y - 4 , z - 2 )

Então,

⎜ x - 1             y - 4             z - 2 ⎜

⎜         2                   -   3                 - 2         ⎜ = ( x - 1 ) ( 0 - 10 ) - ( y - 4 ) ( 0 + 12 ) + ( z - 2 ) ( - 10 + 18 )

⎜         6                     - 5                               0         ⎜

⇒ - 10 x + 10 - 12 y + 48 + 8 z - 16 = - 10 x - 12 y + 8 z + 42

Como A B → , A C → e A X → são l.d. então o determinante acima é nulo. Assim, temos

π : - 10 x - 12 y + 8 z + 42 = 0

⇒ π : 5 x + 6 y - 4 z - 21 = 0

A reta r que passa por A =   ( 1,4 , 2 ) e é perpendicular a π , ou seja, seu vetor diretor é igual ao vetor normal do plano v → r = n → = ( 5,6 , - 4 ) . Com isso, obtemos as seguintes equações paramétricas:

r :   x = 1 + 5 t ,   y = 4 + 6 t ,   z = 2 - 4 t

Resposta

  1. x = 1
  2. r :   x = 1 + 5 t ,   y = 4 + 6 t ,   z = 2 - 4 t