São dados os pontos X e Y . Desenhe A , B e C tais que:

4 X A →   =   7 Y A → ; 2 X B → + 3 Y B →   =   0 → e 5 C X →   - 3 C Y → = 0 → .

Passo 1

Para descobrir a localização de cada um desses pontos, o que podemos fazer é tentar obter o vetor X Y → em termos dos outros vetores. Por exemplo,

X Y → = X A → + A Y →

Mas

4 X A →   =   7 Y A → ⇒ X A →   =   7 4 Y A → = - 7 4 A Y →

então,

X Y → = X A → + A Y → = - 7 4 A Y → + A Y → = - 3 4 A Y → = 3 4 Y A →

Vamos reservar essa expressão por enquanto. Continuando o nosso raciocínio para os outros pontos, agora usando 2 X B → = - 3 Y B →   = 3 B Y → e 5 C X →   = 3 C Y → :

X Y → = X B → + B Y → = 3 2 B Y → + B Y → = 5 2 B Y →

X Y → = X C → + C Y → = - C X → + C Y → = - 3 5 C Y → + C Y → = 2 5 C Y →

Passo 2

Agora, temos os seguintes resultados:

X Y → = 3 4 Y A →

X Y → = 5 2 B Y →

X Y → = 2 5 C Y →

Na primeira equação, o vetor que sai de Y até A tem o mesmo sentido que o vetor que sai de X a Y. Então Y está entre X e A. Nas duas últimas, vemos que os vetores que saem de B e C até Y tem o mesmo sentido que o vetor que sai de X até Y. Então B e C devem estar entre X e Y, ou X entre B, C e Y. Vamos analisar caso a caso:

  • Em X Y → = 3 4 Y A → , podemos escolher | Y A → | = 4 , de modo que | X Y | → = 3 ;
  • Como o módulo de X Y → já está fixo, | X Y | → = 3 , então X Y → = 5 2 B Y → significa que | B Y → | = 6 5 . Outro detalhe importante é que, como | B Y → | < | X Y → | então B está entre X e Y.
  • Por último, X Y → = 2 5 C Y → nos dá | C Y → | = 15 2 e | C Y → | > | X Y → | . Nesse caso, X está entre C e Y.

A figura vai ficar mais ou menos assim:

Resposta

Veja a resolução acima.