Enunciado

São dados os pontos A   =   ( 1,0 , - 1 ) , B   =   ( 1,3 , 1 ) e C   =   ( - 2,1 , 0 ) .

  1. Determine um ponto D tal que A B C D seja um paralelogramo com A B →   =   C D → .
  2. Usando produto vetorial, calcule a área de A B C D .
  3. Determine um ponto H na reta A B tal que C H ̄ seja perpendicular a A B ̄ .
  4. Calcule o produto | A B → | ⋅ | C H → | . Se as respostas de b ) e d ) não “baterem”, descubra onde você errou.

Passo 1

  1. Ok! Vamos começar lembrando que A B → = B - A e   C D → = D - C . Assim:
  2. A B → = C D → ⇒ B - A = D - C

    ⇒ D = B + C - A = ( 1,3 , 1 ) + ( - 2,1 , 0 ) - ( 1,0 , - 1 ) = ( - 2,4 , 2 )

    Passo 2

  3. O módulo produto vetorial A B → ∧ A C → nos dá a área do paralelogramo. Então, vamos calcular esses vetores
  4. A B → = B - A = ( 1,3 , 1 ) -   ( 1,0 , - 1 ) = ( 0,3 , 2 )

      A C → = C - A = ( - 2,1 , 0 ) - ( 1,0 , - 1 ) = ( - 3,1 , 1 )

    Agora, vamos calcular o produto vetorial:

    A B → ∧ A C → =

    ⎜                 i →                       j →                       k   →   ⎜

    ⎜               0                     3                       2     ⎜ = ( 3 - 2 ) i → - ( 0 + 6 ) j → + ( 0 + 9 ) k →   = ( 1 , - 6,9 )

    ⎜ - 3                     1                       1     ⎜

    Finalmente, podemos obter a área do paralelogramo:

    A = | A B → ∧ A C → | = 1 + 36 + 81 = 118

    Passo 3

  5. Vamos determinar a forma genérica de um ponto na reta A B . Para isso, usamos A =   ( 1,0 , - 1 ) como ponto inicial e A B → = ( 0,3 , 2 ) como vetor diretor. Sendo assim, as equações paramétricas da reta serão
  6. x = 1 ,   y = 3 m ,   z = - 1 + 2 m

    Então, qualquer ponto na reta A B terá a forma H = ( 1,3 m , - 1 + 2 m ) . Agora, vamos calcular o vetor C H → e obter o valor de m para que ele seja perpendicular a A B → . Temos

    C H → = H - C = ( 1,3 m , - 1 + 2 m ) -   ( - 2,1 , 0 ) = ( 3,3 m - 1,2 m - 1 )

    Agora, usando a condição de ortogonalidade:

    C H → ⋅ A B → = 0 ⇒ ( 3,3 m - 1,2 m - 1 ) ⋅ ( 0,3 , 2 ) = 0

    ⇒ 3 ( 3 m - 1 ) + 2 ( 2 m - 1 ) = 0

    ⇒ 13 m - 5 = 0

    ⇒ m = 5 13

    Então, m = 5 13 é o valor que satisfaz as condições que queremos. O último passo que falta é substituir esse valor no ponto H :

    H = ( 1,3 ⋅ 5 13 , - 1 + 2 ⋅ 5 13 ) = ( 1 , 15 13 , - 3 13 )

    Passo 4

  7. Temos A B → = ( 0,3 , 2 ) e

C H → = ( 3,3 m - 1,2 m - 1 ) = ( 3,3 ⋅ 5 13 - 1 ,   2 ⋅ 5 13 - 1 ) = ( 3 , 2 13 , - 3 13   )

Então, os módulos desses vetores são:

| A B → | = 9 + 4 = 13

| C H → | = 9 + 4 169 + 9 169 = 9 ⋅ 169 + 4 + 9 169 = 1534 169 = 118 13

Assim, | A B → | ⋅ | C H → | = 118 , como esperado. Para ficar mais fácil de entender o que aconteceu aqui, vamos relembrar que

A B → ∧ A C → = | A B → | | A C → | s e n   θ

onde θ é o ângulo entre A B → , A C → . Assim, | A C → | s e n   θ é justamente a distância entre C e a reta A B , que é numericamente igual ao módulo do vetor | C H → | .

Resposta

  1. D = ( - 2,4 , 2 )
  2. A = 118
  3. H = ( 1 , 15 13 , - 3 13 )