Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.7 - Ex. 174
- São dados os pontos e . Escreva uma equação do plano , perpendicular ao segmento e que passa pelo ponto médio de
- Escolha um ponto qualquer do plano e calcule as distâncias de até e até . Interprete a resposta.
Passo 1
- Tudo bom, pessoal? Vamos escrever as equações paramétricas do segmento . Para isso, precisamos do vetor
- Já que é pra escolher um ponto qualquer, vamos fazer , substituir na equação do plano e ver qual é o valor de :
Considerando que o segmento começa no ponto , podemos escrever as equações:
Percebeu que para recuperamos o ponto e para recuperamos o ponto ? Então, o ponto médio de acontece justamente para :
Isso tudo foi para descobrir um ponto que está contido no plano . Outra informação importante é que o plano é perpendicular ao segmento . Então, o vetor normal de é paralelo ao vetor diretor de , ou seja, . Com isso, a gente consegue escrever a equação do plano como
e, para descobrir o valor de , temos que substituir o ponto na equação do plano:
Assim, ficamos com
Passo 2
Então, o ponto escolhido é . Para calcular a distância desse ponto até e , precisamos dos vetores ligando os pontos:
Agora, calculamos os módulos dos dois vetores para obter as distâncias:
-Distância de até
-Distância de até
Vamos parar para analisar o nosso resultado. Escolhemos um ponto aleatório no plano e conseguimos , então, podemos assumir que isso é válido para qualquer ponto no plano. A explicação para esse resultado é que o plano passa exatamente no ponto médio de .
Resposta
- para qualquer ponto em .