São dados os pontos A = ( 1,2 , 1 ) , B = ( 1 , - 1,0 ) . Escreva equações paramétricas da reta r que passa pela origem e pelo ponto médio de A B → .

Passo 1

Fala, galera! Para resolver essa questão, temos que descobrir o vetor diretor da reta que passa pela origem e pelo ponto médio de A B → . Então, temos que calcular o vetor que liga esses dois pontos. A origem é dada por ( 0,0 , 0 ) . Para obter ponto médio de A B → , nós começamos calculando uma reta que começa em A para m = 0 e vai até B para m = 1 . Então, o ponto médio ocorre quando m = 1 2 . Então, vamos calcular a reta A B ? Vem comigo!

O vetor diretor de A B é

A B → = B - A = ( 1 , - 1,0 ) - ( 1,2 , 1 ) = ( 0 , - 3 , - 1 )

Assim, lembrando que A = ( 1,2 , 1 ) é o ponto inicial, temos a equação paramétrica da reta A B :

x = 1 ,   y = 2 - 3 m ,   z = 1 - m

Quando m = 1 2 , temos o ponto médio:

M = ( 1,2 - 3 ⋅ 1 2 ,   1 - 1 2 ) = ( 1 , 1 2 , 1 2 )

Passo 2

Agora, podemos calcular o vetor diretor da reta que sai da origem até o ponto M :

v → = M - O = ( 1 , 1 2 , 1 2 ) - ( 0,0 , 0 ) = ( 1 , 1 2 , 1 2 )

Como o ponto inicial da reta é ( 0,0 , 0 ) , então a equação paramétrica da reta que queremos é:

O M :   x = t ,   y = 1 2 t ,   z = 1 2 t

Resposta

x = t ,   y = 1 2 t ,   z = 1 2 t