São dados os pontos A = ( 0,0 , 0 ) , B = ( 0,0 , 3 ) , C = ( 3,0 , 0 ) , D = ( 3,0 , 3 ) e E = ( 3,3 , 3 ) .

  1. Mostre que A B C D é um paralelogramo e calcule sua área.
  2. Calcule o volume do tetraedro A B C E .

Passo 1

  1. Para mostrar que A B C D é um paralelogramo, só precisamos calcular os vetores de cada lado do paralelogramo e mostrar que temos dois pares de vetores paralelos:
  2. A B → = B - A = ( 0,0 , 3 ) - ( 0,0 , 0 ) = ( 0,0 , 3 )

    B D → = D - B = ( 3,0 , 3 ) - ( 0,0 , 3 ) = ( 3,0 , 0 )

    C D → = D - C = ( 3,0 , 3 ) - ( 3,0 , 0 ) = ( 0,0 , 3 )

    A C → = C - A = ( 3,0 , 0 ) - ( 0,0 , 0 ) = ( 3,0 , 0 )

    Com isso, vemos que A B → = C D → e B D → = A C → . Ou seja, temos um paralelogramo. Além disso, | A B | → = | C D → | = | B D → | = | A C → | = 9 = 3 . Então, temos um quadrado ou um losango. Vamos calcular o ângulo no vértice A para checar qual opção correta:

    c o s   θ = A B → ⋅ A C → | A B → | | A C → | = 0 + 0 ( 3 ) 2 = 0 ⇒ θ = 90 °

    Como temos um quadrado, a área será apenas a multiplicação dos lados:

    A = | A B | → | B D → | = 3 ⋅ 3 = 9

    Passo 2

  3. Para calcular o volume do tetraedro A B C E , precisamos do produto misto | [ A B → , A C → , A E → ] | . Temos

A E → = E - A = ( 3,3 , 3 ) - ( 0,0 , 0 ) = ( 3,3 , 3 )

Assim, o produto misto será

[ A B → , A C → , A E → ] =

⎜   0                 0                 3   ⎜

⎜   3                 0                 0   ⎜ = 0 + 0 + 3 ⋅ ( 9 - 0 ) = 27

⎜   3                 3                 3   ⎜

O volume do tetraedro é igual a um sexto do produto misto

V = 1 6 | [ A B → , A C → , A E → ] | = 27 6 = 9 2

Resposta

  1. A = 9
  2. V = 9 2