São dados: a reta x - 2 3 = y = z - 1 e o plano a x + y - 4 z + d = 0 . Determine a e d de modo que a reta esteja contida no plano.

Passo 1

Fala, pessoal! Para resolver essa questão, precisamos encontrar as equações paramétricas da reta. Com isso, vamos determinar dois pontos da reta, substituí-los na equação do plano e resolver as equações obtidas para encontrar a e d .

Então, bora lá. Reescrevendo a equação da reta:

x - 2 3 = y = z - 1 = t ⇒ x = 2 + 3 t ,   y = t ,   z = 1 + t

Quando t = 0 , temos A = ( 2,0 , 1 ) e quando t = 1 , temos B = ( 5,1 , 2 ) .

Passo 2

Se os pontos A = ( 2,0 , 1 ) e B = ( 5,1 , 2 ) pertencerem ao plano a x + y - 4 z + d = 0 , então a reta pertence ao plano. Substituindo as coordenadas dos dois pontos na equação do plano, obtemos:

  • Ponto A
  • a x + y - 4 z + d = 0 ⇒ 2 a - 4 + d = 0

    ⇒ d = 4 - 2 a

  • Ponto B

a x + y - 4 z + d = 0 ⇒ 5 a + 1 - 8 + d = 0 ⇒ 5 a - 7 + d = 0

Agora, substituímos d = 4 - 2 a na equação do ponto B :

5   a - 7 + d = 0 ⇒ 5 a - 7 + 4 - 2 a = 0 ⇒ 3 a - 3 = 0 ⇒ a = 1

Assim, usando a = 1 , obtemos

d = 4 - 2 a = 4 - 2 = 2

Isso é tudo, pessoal!

Resposta

a = 1 e d = 2