Se A e B são invertíveis:

a. A +   B é invertível?

b. A B é invertível?

c. A T B é invertível?

Passo 1

Faaaala, galeraaaa!

Letra a)

Se A e B são invertíveis seus determinantes não são nulos. Sabemos que

det ⁡ A + B ≠ det ⁡ ( A ) + det ⁡ ( B )

Logo, se as matrizes A e B são invertíveis, não garante que a soma será invertível. Assim, de maneira geral, a resposta é não.

Passo 2

Letra b)

Sabemos que:

det ⁡ ( A B ) = det ⁡ ( A ) det ⁡ ( B )

Dessa forma, se ambas as matrizes A e B são invertíveis, seu determinante é diferente de 0, então:

Se det ⁡ ( A ) ≠ 0 e det ⁡ ( B ) ≠ 0 , podemos afirmar que det ⁡ ( A B ) ≠ 0 .

Logo, a reposta é sim.

Passo 3

Letra c)

Temos por propriedade que a transposta da matriz inversa é igual a inversa da matriz transposta. Logo:

( B - 1 ) T = ( B T ) - 1

Logo, se B também é invertível:

det ⁡ ( A T B ) = det ⁡ ( A T ) det ⁡ ( B )

Dessa forma, se ambas as matrizes A T e B são invertíveis, seu determinante é diferente de 0, então:

Se det ⁡ ( A T ) ≠ 0 e det ⁡ ( B ) ≠ 0 , podemos afirmar que det ⁡ ( A T B ) ≠ 0 .

Logo, a reposta é sim.

Até mais!

Resposta

a. De forma geral não.

b. Sim.

c. Sim.