Responde Aí

Enunciado

Se a e b são número racionais e s irracional, prove que:

a )   a + b   e   a b   s ã o   r a c i o n a i s

b )   a + s   e   a s   s ã o   i r r a c i o n a i s ,   s e   a ≠ 0

Passo 1

Eaee, tranquilo? Para começar vamos lembrar que se a e b são racionais, então: a = p q   e   b = t k ,     c o m   p , q , t , k   i n t e i r o s

Passo 2

a)Caso a+b e ab:

a + b = p q + t k = k p + t q q k

O produto de inteiros e soma de inteiros é um inteiro, logo k p + t q   e   q k   s ã o   i n t e i r o s .

Dai a+b é racional

a b = p t q k

Pelos mesmos argumentos temos que ab é racional

Passo 3

b)Caso a+s e as:

Queremos provar que a soma é irracional, para isso vamos supor por absurdo que ela é racional, ou seja:

a + s = g h   ,   g   e   h   i n t e i r o s

p q + s = g h

s = g h - p q = g q - h p h q

Ou seja, em cima temos a subtração de números inteiros (é inteiro) sobre a multiplicação de números inteiros, então achamos que s é racional, porém sabemos que s é irracional, como chegamos em uma contradição, nossa ideia inicial (soma racional) é falsa e por absurdo temos que a soma é irracional

Novamente, queremos provar que as é irracional, vamos supor por absurdo que é racional:

a s = g h ,   g   e   h   i n t e i r o s

p q s = g h

s = g q p h

Ou seja, temos um número inteiro sobre outro inteiro, dai tiramos que s é racional, como sabemos que isso é uma contradição, temos que as é irracional (por absurdo)

Resposta

Demonstração