Se p e p + 2 são números primos, então eles se denominam primos gêmeos. É o caso, por exemplo, de 3 e 5.
Se p > 3 e os números p e p + 2 são primos gêmeos, prove que a soma p+(p+2) = 2p+2 é múltiplo de 12.
Sugestão: Sendo a soma um número par, então a princípio essa soma poderia ser côngrua a 0, 2, 4, 6, 8, 10 módulo 12. Mostrar que todas essas possibilidades, exceto a primeira, levam a uma contradição.
Passo 1
Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!
Tem solução então é pra seguir! Vamos provar que 2p + 2 não pode ser equivalente a 2, 4, 6, 8 ou 10 no módulo 12.
Vamos supor por absurdo que . Nesse caso,
E isso é um absurdo! Pois sendo p primo, ele só pode ter dois divisores, 1 e ele mesmo, nesse caso ele é divisível também por 6.
Provamos para 2, para provar para os demais é só utilizar o mesmo raciocínio, utilizando o absurdo para formar expressões como: e descobrir que o resultado não se trata de números primos.
Bora de próxima demonstração porque somos feras! B)
Resposta
Demonstração