Se a e b são números reais positivos, mostre que

(a + b)/(2) >= sqrt(a b)

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Este exercício solicita a demonstração de um caso particular (quando temos apenas dois números reais positivos) da desigualdade existente entre a média aritmética simples e a média geométrica simples de número reais positivos quaisquer, com isso

a , b in R_+^* sqrt(a b) <= (1)/(2) ( a + b )

(a + b)/(2) >= sqrt(a b)

sqrt(a b) <= (a + b)/(2)

Parece confuso né ? mas vem comigo

Sério confia

Passo 2

Lembrando que o próprio enunciado informa sobre o fato de a e b serem maiores que zero (positivos) e para provar a validade da desigualdade, vamos ter que partir,

a , b in R_+^*

(sqrt(a) - sqrt(b))^2 >= 0

(sqrt(a))^2 - 2 sqrt(a) sqrt(b) + (sqrt(b))^2 >= 0

|a| - 2 sqrt(a b) + |b| >= 0

|a| + |b| >= 2 sqrt(a b)

Com isso,

a + b >= 2 sqrt(a b)

(a + b)/(2) >= (2 sqrt(a b))/(2)

sqrt(a b) <= (a + b)/(2)

sqrt(a b) <= (1)/(2) ( a + b )

Resposta

sqrt(a b) <= (1)/(2) ( a + b )