O A B C são pontos consecutivos de um quadrilátero. Escreva o vetor O P → em função dos vetores O A → , O B → e O C → , sabendo que M é o ponto médio de A B ̄ , N é o ponto de B C ̄ e P é o ponto médio de M N ̄ .

Passo 1

Nós vamos começar essa questão desenhando o quadrilátero (vamos supor que seja um retângulo para facilitar a visualização, mas o raciocínio é o mesmo para qualquer quadrilátero)

e usando as propriedades que M é o ponto médio de A B ̄ , N é o ponto de B C ̄ e P é o ponto médio de M N ̄ :

A M → = 1 2 A B →

B N → = 1 2 B C →

M P → = 1 2 M N →

Passo 2

Agora, vamos escrever A B → , B C → e M N → em termos O A → , O B → e O C → :

A B → = A O → + O B → = - O A → + O B → ⇒ A M → = 1 2 ( - O A → + O B → )

B C → = B O → + O C → = - O B → + O C → ⇒ B N → = 1 2 ( - O B → + O C → )

M N → = M A → + A O → + O B → + B N → = - A M → - O A → + O B → + B N →

M N → = - 1 2 ( - O A → + O B → ) - O A → + O B → + 1 2 ( - O B → + O C → ) = - 1 2 O A → + 1 2 O C →

⇒ M P → = - 1 4 O A → + 1 4 O C →

Levando em consideração os resultados obtidos acima, podemos escrever

O P → = O A → + A M → + M P → = O A → + 1 2 ( - O A → + O B → ) - 1 4 O A → + 1 4 O C → = 1 4 O A → + 1 2 O B → + 1 4 O C →

Resposta

O P → = 1 4 O A → + 1 2 O B → + 1 4 O C →