A , B , C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero plano qualquer. M é tal que C M →   = 2 M B → e N é o ponto médio de C D ̄ . Em função de b →   = A B → , c →   = A C → e d →   =   A D → , pedem-se:

  1. A M → ;
  2. A N → ;
  3. M N → .

Passo 1

  1. Galerinha, antes de calcular A M → , precisamos localizar M . Vamos começar por
  2. C B → = C M → + M B → = 2 M B → + M B → = 3 M B →

    ⇒ M B → = 1 3 C B →

    Então M está a um terço do caminho entre C e B . Agora, podemos escrever

    A M → = A B → + B M → = A B → - M B → = A B → - 1 3 C B → = A B → - 1 3 ( C A → + A B → ) = 2 3 A B → + 1 3 A C →

    A M → = 2 3 A B → + 1 3 A C → = 2 3 b →   + 1 3 c →

    Passo 2

  3. Como N é o ponto médio de C D ̄ , então
  4. C N → = 1 2 C D →

    Assim, podemos escrever

    A N → = A C → + C N → = A C → + 1 2 C D → = A C → + 1 2 ( C A → + A D → ) = A C → + 1 2 ( - A C → + A D → ) = 1 2 ( A C → + A D → )

    A N → = 1 2 ( c → + d → )

    Passo 3

  5. Para encontrar M N → , basta usar os resultados dos itens anteriores:

M N → = M A → + A N → = - A M → + A N → = - 2 3 b →   + 1 3 c → + 1 2 ( c → + d → ) = - 2 3 b → + 3 - 2 6 c → + 1 2 d →

M N → = - 2 3 b → + 1 6 c → + 1 2 d → = 1 6 ( - 4 b → + c → + 3 d → )

Resposta

  1. A M → = 2 3 b →   + 1 3 c →
  2. A N → = 1 2 ( c → + d → )
  3. M N → = 1 6 ( - 4 b → + c → + 3 d → )