Seja R θ : R 2 → R 2 uma rotação em torno da origem com ângulo θ satisfazendo 0 ≤ θ < 2 π .

Se v ∈ R 2 , v ≠ 0 , determine condições em θ para que v e R θ v sejam linearmente independentes.

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!

Temos que dois vetores v 1 e v 2 são LD’s se existir um real α ≠ 0 tal que v 2 = α v 1 . Pensando geometricamente, isso significa que dois vetores são LD’s se, e somente se, os vetores v 1 e v 2 são paralelos.

Sabendo disso, vamos para a questão.

Passo 2

Pelo que foi dito acima, a única possibilidade dos vetores v e R θ v serem linearmente dependentes é se θ = 0 ou θ = π . Sendo assim, para todo θ ≠ 0 e θ ≠ π os vetores v e R θ v são linearmente independentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)