Seja R θ : R 2 → R 2 uma rotação em torno da origem com ângulo θ satisfazendo 0 ≤ θ < 2 π .

Se θ ≠ 0 existe v ∈ R 2 , v ≠ 0 tal que R θ v = v ?

Passo 1

E aí, pessoal, beleza? Vamos para o exercício!!!

Antes de mais nada, lembremos que a matriz da transformação linear R θ é dada por:

R θ = c o s θ - s e n θ s e n θ c o s θ

Sabendo disso, vamos para a questão!!!

Passo 2

Seja v = ( x , y ) . Temos que:

R θ v = v ⇒

c o s θ - s e n θ s e n θ c o s θ x y = x y ⇒

c o s θ x - s e n θ y = x s e n θ x + c o s θ y = y ⇒

c o s θ - 1 x - s e n θ y = 0 s e n θ x + c o s θ - 1 y = 0

A matriz de coeficientes do sistema em questão é dada por:

c o s θ - 1 - s e n θ s e n θ c o s θ - 1

Como por hipótese temos θ ≠ 0 , segue que c o s θ ≠ 1 , de forma que c o s θ - 1 ≠ 0 . Sendo assim, escalonando essa matriz obtemos o seguinte:

c o s θ - 1 - s e n θ 0 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ - 2 c o s θ + 1 c o s θ - 1

Ou melhor:

c o s θ - 1 - s e n θ 0 2 1 - c o s θ c o s θ - 1

Como θ ≠ 0 , segue que 1 - c o s θ ≠ 0 , de forma que a matriz não possui nenhuma linha nula, ou seja, o sistema que ela representa possui apenas a solução trivial, que é dada por x , y = ( 0,0 ) .

Finalmente, concluímos que não existe v ∈ R 2 , v ≠ 0 , tal que R θ v = v .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)